量子场论我打通不少 - 但是还没有完全打通

[TheMatrix]

磕磕绊绊。

[TheMatrix]

哪本书？

没有书。道听途说的。

[TheMatrix]

可以选择在菌斑开个讲座，一章章讲过去，讲完了自己就懂了。通过教来学。

是。我就是这个意思。但我肯定不是一章一章讲，而是从头到尾提纲携领式的就一篇。军版风格的。不过现在不行，我自己还没打通。

[Caravel]

欢迎矩阵写出来一起讨论

[TheMatrix]

欢迎矩阵写出来一起讨论

嗯。虽然有一些没打通的地方，但是也可以把断续的写出来 - 讨论、和脑力激荡，学的也快。

[TheMatrix]

首先，薛定谔方程是一个大的范式转换：使用复数，使用波函数。薛定谔方程是个粒子方程（不是场方程），但是波函数不直接描述粒子的位置或者速度。而且它用复数。逼着人类研究它的解释。逼出来概率解释，还有算符作用。

而且使人类对物理的逻辑信念开始松动 - 也就是说物理的理论只是一个记账系统，这么记，那么记，只要自洽都可以。不能解释实验怎么办？那说明你漏记了，不说明记账系统错了，只要把漏记的东西加进来就行了。

回头想一想，牛顿力学也是这样。力是什么？牛顿问过这个问题。现在看来，力是物体之间的关系。天体之间的关系最简单，所以就先有了万有引力。万有引力适用于丰富的地面环境吗？用记账系统来看，我们就不这么问了。

我们这么看：万有引力这个记账系统在天体环境下好用，我们没理由不用在地面环境。地面上的物体不能用质点来近似，那我们就把它分成小块，求和，发展出微积分。这实际上是保持力的简单性，而代价是物体configuration描述的复杂性。

这个系统有漏：不能描述两个系统之间的接触、摩擦。但是我们不抛弃这个系统，我们往里加东西。电，电荷，磁。。。

薛定谔方程是一个新的记账系统 - 有旧系统的影子，比如拉格朗日，哈密顿等 - 但主要是一个全新的范式。它不能从旧系统中推出来，它是全新的。是一次范式转换。

既然这样都可以的话，那人类就自由了。薛定谔方程波函数是一个复数值，它解释不了电子的自旋。那我就给它加一个复数，变成双复数值，发现它能解释电子自旋了。

那我3复数值行不行？4复数值行不行？理论物理自由了。U(1), SU(2), SU(3), SU(n) 都出来了。

[verdelite]

这种帖子，为什么不贴在STEM 版？放军版以后就找不到了。

[TheMatrix]

这种帖子，为什么不贴在STEM 版？放军版以后就找不到了。

嗯，我也犹豫到底贴在哪。最近似乎到了临界点了 - STEM开始有人气了，军版水量也太大太快了。不过军版比较随意一些，这贴一开始有点算钓鱼贴。在STEM发贴会自我严肃起来，应该随意一点。

[TheMatrix]

(2)

从薛定谔方程向量子场论变化，主要是粒子向“场”的视角的变化。薛定谔方程是个粒子方程，视角是一个粒子，或者两个粒子多个粒子等组成的一个系统。而场，有一个稠密的概念。到处都是粒子，有一个密度的概念。想象成一个密度函数，它的定义域是连续统。

场这个概念，是对付复杂系统必需的概念。因为一个复杂系统，它的物质是弥散在空间之中的。当然也可以想象成很多很多的粒子，然后做粒子的追踪和统计，（这个好像叫系踪理论）。但是用场来描述，看似是从有限或者可数无穷变为连续统，复杂性增加了，实际上因为连续性(continuity)的要求，它是一种简化，一种近似，它的处理也会少于基于组合统计的理论。

欧拉在处理流体力学时，放弃了粒子视角，引入了流速场，这是一个向量场，和物质密度场，这是一个标量场。

实际上薛定谔方程中的波函数，本身就是一个场函数，因为它的定义域是时空，它不代表一个粒子的位置和速度。所以实际上场论的元素已经在波函数之中了。所以从薛定谔方程到量子场论，是一个视角的变化，一个解释的变化。

所以我们在量子场论里，也有一个函数，类似波函数，叫场函数，它决定着整个系统的演化。这个场函数，定义域也是时空。值域是复数，双复数，三复数，多复数。为什么可以是双复数，三复数，多复数？因为你复数都可以，那双复数，三复数，多复数有什么不可以的呢？理解的范式变了 - 解放了。

场论还有一个变化，就是定义域不一定是平直的时空，可以是一个弯曲的流形 - 因为空间可以弯曲嘛 - 而且这个弯曲，在微观中也可以存在 - 我觉得。

所以场函数是一个从流形到多复数的函数。我觉得这在当时的数学下，可以马上想到从流形到每一点上的多复数fiber的fiber bundle。纤维丛本来就是函数的一种扩展，定义域非平直的时候更容易想到。所以场函数现在是一个向量场。定义域是时空流形，每一点上值域是一个复数向量空间 - 复数，双复数，三复数，多复数。

这个纤维丛上必须给一个联络。联络就是规范，gauge。规范场论，就是有联络的纤维丛。联络的物理意义是什么呢？想象一下，一个平直空间上的纤维丛，它也可以有联络。也就是这根纤维上的一个向量和另一根纤维上的一个向量，它们可以不是按照“平凡”的方式对应。它们为什么不按照平凡的方式对应呢？因为有“力” - 这个地方的力比较多，它就偏离平凡比较多，另一个地方的力比较少，它就偏离平凡比较少。力也是曲率，是联络的导数。

[gtm55]

c

[pinfish]

精神病，要治

[TheMatrix]

(3)状态演化方程和quantization

薛定谔方程 ih\Phi_t= H\Phi 就是系统的状态演化方程，也就是波函数\Phi的演化方程。其中H是哈密顿算符，作用在一个波函数上，得到另一个波函数 - 也就是作用在波函数所在的空间上，这是一个函数空间，一个希尔伯特空间。

Quantization在哪里？这个地方我是有困惑的。我认为quantization在这一整套方程的构造和解的解释当中。包括波函数，算符，本征态，本征值，概率解释这一整套之中。最后表现在能量的量子化，也就是H算符本征值的离散性。数学上看，一个函数空间上的一个算符，它的本征值是离散的，这是很正常的。为什么把这种离散性叫做量子化？这存在于量子力学对解的解释。

场论的状态演化方程和quantization怎么搞？这个地方我没有完全打通。

大概是这样的：用场函数以及gauge，也就是联络，写出一个lagrangian和一个作用量函数（depend on场函数的时间演化路径），然后用最小作用量原理，得到场函数的时间演化路径 - 一般是得到描述这个时间演化路径的微分方程，这就相当于得到了这个时间演化路径。

考虑4维时空的话，时间和空间交织在一起，lagrangian变成lagrangian density，然后对时空积分得到作用量函数。但是这里就没有时间演化路径了 - 这个地方我没想明白。

然后怎么算符化，这个我也没打通。因为算符化，然后作用在场函数上有本征值的离散性，是量子化的关键，所以必须要算符化。

方程解的解释，是通过基本粒子，粒子数，的时空分布变化来理解的。这和最开始场论的初衷是一致的 - 不是一个粒子，而是一个粒子的分布。基本粒子和U(1), SU(2), SU(3)的表示有关。这些地方我也没打通。

[magicknight]

有点懵，啥是双复数三复数，啥是fibre bundle?

你个弱智连fibre bundle都不知道，政屄过来的？在哪洗盘子？

[TheMatrix]

有点懵，啥是双复数三复数，啥是fibre bundle?

R4 是4维时空。C是复数。

值域为（单）复数的函数就是 R4 --> C。

值域为双复数的函数就是 R4 --> (C,C)，也可以写成两个单复变函数(f1,f2)。

值域为三复数的函数就是 R4 --> (C,C,C)，也可以写成三个单复变函数(f1,f2,f3)。

[TheMatrix]

有点懵，啥是双复数三复数，啥是fibre bundle?

fibre bundle可以看成是函数的扩展，比如一个函数 R4 --> (C,C)，这个值域是一个(C,C)的空间（向量空间）。fibre bundle是定义域上每一点都有各自的值域空间，都是(C,C)，但是是不同copy，互相独立。比如R4中的两个点x和y，每个点上都有一个(C,C)空间 - 叫fiber - 各自映射到自己的fiber中去。

举个例子，一个树林，树都一样高，但是各有各的位置。每棵树上钉个钉子，钉子的高度和树的位置有关。可以说这是一个位置到高度的函数，值域是一个数轴R。但是如果考虑的不仅是钉子的高度，还要考虑在哪棵树上，那值域就变成每个位置有自己一个数轴 - 相当于那个棵树 - 不同位置的数轴相互独立。这就是一个fiber为R的fiber bundle。

[Caravel]

不错，写的很长嘛，刚刚刚看到。确实是记账系统，就像强化学习一样，描述游戏需要两个东西，一个状态空间，一个状态之间的transition matrix。

[（ヅ）]

可以选择在菌斑开个讲座，一章章讲过去，讲完了自己就懂了。通过教来学。

滋持lz开课

[TheMatrix]

不错，写的很长嘛，刚刚刚看到。确实是记账系统，就像强化学习一样，描述游戏需要两个东西，一个状态空间，一个状态之间的transition matrix。

就这些了。:)
这就是我目前的理解状态。
我把这些打包放到STEM去。

[Caravel]

我补充几点，关于quantization，我认为最核心的应该是非对易性，比如坐标r和p, 其实并不是所有的Hamiltonian的本正值都是离散的。比如自由粒子的情形就是连续的，但是常见的Hamiltonian比如氢原子是p^2 + v(r) 是关于两个不对易算符构造的，所以本正值是离散的。是否有一个定理，由不可对易算符构造的算符本正值一定是离散的，角动量算符似乎也满足这一个条件。

[shot]

很不错，给你鼓个掌

(2)

从薛定谔方程向量子场论变化，主要是粒子向“场”的视角的变化。薛定谔方程是个粒子方程，视角是一个粒子，或者两个粒子多个粒子等组成的一个系统。而场，有一个稠密的概念。到处都是粒子，有一个密度的概念。想象成一个密度函数，它的定义域是连续统。

场这个概念，是对付复杂系统必需的概念。因为一个复杂系统，它的物质是弥散在空间之中的。当然也可以想象成很多很多的粒子，然后做粒子的追踪和统计，（这个好像叫系踪理论）。但是用场来描述，看似是从有限或者可数无穷变为连续统，复杂性增加了，实际上因为连续性(continuity)的要求，它是一种简化，一种近似，它的处理也会少于基于组合统计的理论。

欧拉在处理流体力学时，放弃了粒子视角，引入了流速场，这是一个向量场，和物质密度场，这是一个标量场。

实际上薛定谔方程中的波函数，本身就是一个场函数，因为它的定义域是时空，它不代表一个粒子的位置和速度。所以实际上场论的元素已经在波函数之中了。所以从薛定谔方程到量子场论，是一个视角的变化，一个解释的变化。

所以我们在量子场论里，也有一个函数，类似波函数，叫场函数，它决定着整个系统的演化。这个场函数，定义域也是时空。值域是复数，双复数，三复数，多复数。为什么可以是双复数，三复数，多复数？因为你复数都可以，那双复数，三复数，多复数有什么不可以的呢？理解的范式变了 - 解放了。

场论还有一个变化，就是定义域不一定是平直的时空，可以是一个弯曲的流形 - 因为空间可以弯曲嘛 - 而且这个弯曲，在微观中也可以存在 - 我觉得。

所以场函数是一个从流形到多复数的函数。我觉得这在当时的数学下，可以马上想到从流形到每一点上的多复数fiber的fiber bundle。纤维丛本来就是函数的一种扩展，定义域非平直的时候更容易想到。所以场函数现在是一个向量场。定义域是时空流形，每一点上值域是一个复数向量空间 - 复数，双复数，三复数，多复数。

这个纤维丛上必须给一个联络。联络就是规范，gauge。规范场论，就是有联络的纤维丛。联络的物理意义是什么呢？想象一下，一个平直空间上的纤维丛，它也可以有联络。也就是这根纤维上的一个向量和另一根纤维上的一个向量，它们可以不是按照“平凡”的方式对应。它们为什么不按照平凡的方式对应呢？因为有“力” - 这个地方的力比较多，它就偏离平凡比较多，另一个地方的力比较少，它就偏离平凡比较少。力也是曲率，是联络的导数。