谈谈外代数

[Caravel]

抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，

1) 满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.
2) 满足bilinearity， 也就是 （c v) ^ w = v^(c w) = c v ^ w.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

如果v1，v2，v3线性相关，则结果为0.

一般使用正交坐标系 {ei} 计算的话
v1 = a11 e1 + a12 e2
v2 = a21 e1 + a22 e2

v1 ^ v2 = a11 * a21 e1 ^ e1 + a11*a22 e1^e2 + a12 * a21 e2 ^ e1 + a12 * a22 e2 ^ e1

由于 e1 ^ e1 = 0, e2^e2 = 0, e1 ^ e2 = - e2 ^ e1,

v1 ^ v2 = (a11 * a22 - a12 * a21) e1 ^ e2

不难看出这就是一个二阶行列式的值，这套计算可以推广到高维，很容易用到计算几何学里

2. 这个算法看上去跟cross product很像，但是也有不一样，cross product的结果依然是一个普通的vector，二外乘之后的结果已经是在另外一个bivector 的线性空间上了

3. 似乎跟张量也有类似，但是并不一样，这个我还没有理清。

[hci]

Exterior product is part of the geometric algebra, adding the inner product, you got geometric product.

Geometric algebra is expensive to implement in computer. It's got 2^n elements.

[verdelite]

重要的性质得说出来：满足双线性性、anti -commutative。

[FoxMe]

这些东西，包括Clifford algebra，我一直想学，一直没搞懂。

[verdelite]

这些东西，包括Clifford algebra，我一直想学，一直没搞懂。

有需求才学习。我学了一个月左右，学了个大半懂，但是已经满足了我的需求了。

[YWY]

重要的性质得说出来：满足双线性性、anti -commutative。

双线性是一条，另一条应该是 v^v = 0（由此能推出anti-commutative，但不等价）。

[verdelite]

双线性是一条，另一条应该是 v^v = 0（由此能推出anti-commutative，但不等价）。

等价吧。因为从anticommutative 也可以推出v^v=0（因为v^v=-v^v）。

[（ヅ）]

抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

如果v1，v2，v3线性相关，则结果为0.

一般使用正交坐标系 {ei} 计算的话
v1 = a11 e1 + a12 e2
v2 = a21 e1 + a22 e2

v1 ^ v2 = a11 * a21 e1 ^ e1 + a11*a22 e1^e2 + a12 * a21 e2 ^ e1 + a12 * a22 e2 ^ e1

由于 e1 ^ e1 = 0, e2^e2 = 0, e1 ^ e2 = - e2 ^ e1,

v1 ^ v2 = (a11 * a22 - a12 * a21) e1 ^ e2

不难看出这就是一个二阶行列式的值，这套计算可以推广到高维，很容易用到计算几何学里

2. 这个算法看上去跟cross product很像，但是也有不一样，cross product的结果依然是一个普通的vector，二外乘之后的结果已经是在另外一个bivector 的线性空间上了

3. 似乎跟张量也有类似，但是并不一样，这个我还没有理清。

有向面积，那不就是跟叉乘一样吗？叉乘那个向量方向表示的就是面积方向


edit:我理解肤浅了

3维空间ep跟cp等价，高维空间里面不太一样，参考

https://math.stackexchange.com/question ... ss-product

https://www.quora.com/What-is-the-diffe ... e-formulae

[YWY]

等价吧。因为从anticommutative 也可以推出v^v=0（因为v^v=-v^v）。

你这依赖于2可以被除掉（约掉），在实数域上成立（应用中大都是考虑实数），但在特征数为2的形况下就不行了。

[Caravel]

有向面积，那不就是跟叉乘一样吗？叉乘那个向量方向表示的就是面积方向


edit:我理解肤浅了

3维空间ep跟cp等价，高维空间里面不太一样，参考

https://math.stackexchange.com/question ... ss-product

https://www.quora.com/What-is-the-diffe ... e-formulae

不错，这第一个链接也很informative，cross product跟wedge product有对偶关系，似乎和clifford algebra也有联系，这个值得展开一下，哪位懂的也可以说说。

[FoxMe]

噢，以前课上说叉乘，又叫外积，看来是不准确的，只是在三维的情况下成立。

[FoxMe]

有需求才学习。我学了一个月左右，学了个大半懂，但是已经满足了我的需求了。

这么厉害。以后再请教。

[YWY]

噢，以前课上说叉乘，又叫外积，看来是不准确的，只是在三维的情况下成立。

n维的情况，可以谈n-1个向量的“叉乘”，能和外积对应起来。一个n维空间的n-1次外积是n维空间，能和原来的n维空间对应起来（同构），所以可以把n-1个向量的外积想象成（对应到）原来空间里的向量。计算方式也类似，就是代数行列子式。

[TheMatrix]

n维的情况，可以谈n-1个向量的“叉乘”，能和外积对应起来。一个n维空间的n-1次外积是n维空间，能和原来的n维空间对应起来（同构），所以可以把n-1个向量的外积想象成（对应到）原来空间里的向量。计算方式也类似，就是代数行列子式。

对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

[TheMatrix]

对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

[verdelite]

这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

不需要是欧式的。加一个时间轴，令其自我度量（eta(t,t)=-1），也是可以的。

[YWY]

对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

对，应用中欧式度量会很重要：如果(e1,e2,...,en)是标准正交基（orthonormal），那么得到的的“叉乘”就垂直于参与叉乘的所有向量。

[YWY]

不需要是欧式的。加一个时间轴，令其自我度量（eta(t,t)=-1），也是可以的。

纯代数意义上看，确实不需要欧式度量。但实际应用中大都用欧式度量。

[verdelite]

纯代数意义上看，确实不需要欧式度量。但实际应用中大都用欧式度量。

我学的就是那少数：用民科司机空间扩展的geometric algebra来改写狄拉克方程。

这也该算个重要应用了吧。

[verdelite]

不错，这第一个链接也很informative，cross product跟wedge product有对偶关系，似乎和clifford algebra也有联系，这个值得展开一下，哪位懂的也可以说说。

联系就在这儿呀，我早就写了：

viewtopic.php?t=35874&start=20#p341830