新未名空间

抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，

1) 满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.
2) 满足bilinearity， 也就是 （c v) ^ w = v^(c w) = c v ^ w.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

如果v1，v2，v3线性相关，则结果为0.

一般使用正交坐标系 {ei} 计算的话
v1 = a11 e1 + a12 e2
v2 = a21 e1 + a22 e2

v1 ^ v2 = a11 * a21 e1 ^ e1 + a11*a22 e1^e2 + a12 * a21 e2 ^ e1 + a12 * a22 e2 ^ e1

由于 e1 ^ e1 = 0, e2^e2 = 0, e1 ^ e2 = - e2 ^ e1,

v1 ^ v2 = (a11 * a22 - a12 * a21) e1 ^ e2

不难看出这就是一个二阶行列式的值，这套计算可以推广到高维，很容易用到计算几何学里

2. 这个算法看上去跟cross product很像，但是也有不一样，cross product的结果依然是一个普通的vector，二外乘之后的结果已经是在另外一个bivector 的线性空间上了

3. 似乎跟张量也有类似，但是并不一样，这个我还没有理清。

Exterior product is part of the geometric algebra, adding the inner product, you got geometric product.

Geometric algebra is expensive to implement in computer. It's got 2^n elements.

重要的性质得说出来：满足双线性性、anti -commutative。

这些东西，包括Clifford algebra，我一直想学，一直没搞懂。

FoxMe 写了： 2022年 12月 5日 08:05 这些东西，包括Clifford algebra，我一直想学，一直没搞懂。

有需求才学习。我学了一个月左右，学了个大半懂，但是已经满足了我的需求了。

verdelite 写了： 2022年 12月 5日 06:38 重要的性质得说出来：满足双线性性、anti -commutative。

双线性是一条，另一条应该是 v^v = 0（由此能推出anti-commutative，但不等价）。

YWY 写了： 2022年 12月 5日 09:54 双线性是一条，另一条应该是 v^v = 0（由此能推出anti-commutative，但不等价）。

等价吧。因为从anticommutative 也可以推出v^v=0（因为v^v=-v^v）。

Caravel 写了： 2022年 12月 5日 04:57 抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

如果v1，v2，v3线性相关，则结果为0.

一般使用正交坐标系 {ei} 计算的话
v1 = a11 e1 + a12 e2
v2 = a21 e1 + a22 e2

v1 ^ v2 = a11 * a21 e1 ^ e1 + a11*a22 e1^e2 + a12 * a21 e2 ^ e1 + a12 * a22 e2 ^ e1

由于 e1 ^ e1 = 0, e2^e2 = 0, e1 ^ e2 = - e2 ^ e1,

v1 ^ v2 = (a11 * a22 - a12 * a21) e1 ^ e2

不难看出这就是一个二阶行列式的值，这套计算可以推广到高维，很容易用到计算几何学里

2. 这个算法看上去跟cross product很像，但是也有不一样，cross product的结果依然是一个普通的vector，二外乘之后的结果已经是在另外一个bivector 的线性空间上了

3. 似乎跟张量也有类似，但是并不一样，这个我还没有理清。

有向面积，那不就是跟叉乘一样吗？叉乘那个向量方向表示的就是面积方向


edit:我理解肤浅了

3维空间ep跟cp等价，高维空间里面不太一样，参考

https://math.stackexchange.com/question ... ss-product

https://www.quora.com/What-is-the-diffe ... e-formulae

verdelite 写了： 2022年 12月 5日 10:38 等价吧。因为从anticommutative 也可以推出v^v=0（因为v^v=-v^v）。

你这依赖于2可以被除掉（约掉），在实数域上成立（应用中大都是考虑实数），但在特征数为2的形况下就不行了。

（ヅ） 写了： 2022年 12月 5日 11:10 有向面积，那不就是跟叉乘一样吗？叉乘那个向量方向表示的就是面积方向


edit:我理解肤浅了

3维空间ep跟cp等价，高维空间里面不太一样，参考

https://math.stackexchange.com/question ... ss-product

https://www.quora.com/What-is-the-diffe ... e-formulae

不错，这第一个链接也很informative，cross product跟wedge product有对偶关系，似乎和clifford algebra也有联系，这个值得展开一下，哪位懂的也可以说说。

噢，以前课上说叉乘，又叫外积，看来是不准确的，只是在三维的情况下成立。

verdelite 写了： 2022年 12月 5日 08:38 有需求才学习。我学了一个月左右，学了个大半懂，但是已经满足了我的需求了。

这么厉害。以后再请教。

FoxMe 写了： 2022年 12月 5日 11:40 噢，以前课上说叉乘，又叫外积，看来是不准确的，只是在三维的情况下成立。

n维的情况，可以谈n-1个向量的“叉乘”，能和外积对应起来。一个n维空间的n-1次外积是n维空间，能和原来的n维空间对应起来（同构），所以可以把n-1个向量的外积想象成（对应到）原来空间里的向量。计算方式也类似，就是代数行列子式。

YWY 写了： 2022年 12月 5日 11:55 n维的情况，可以谈n-1个向量的“叉乘”，能和外积对应起来。一个n维空间的n-1次外积是n维空间，能和原来的n维空间对应起来（同构），所以可以把n-1个向量的外积想象成（对应到）原来空间里的向量。计算方式也类似，就是代数行列子式。

对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 5日 12:08 对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 5日 12:14 这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

不需要是欧式的。加一个时间轴，令其自我度量（eta(t,t)=-1），也是可以的。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 5日 12:08 对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

TheMatrix 写了： 2022年 12月 5日 12:14 这种对偶必须要选定一组基，也就是要有欧式度量。

对，应用中欧式度量会很重要：如果(e1,e2,...,en)是标准正交基（orthonormal），那么得到的的“叉乘”就垂直于参与叉乘的所有向量。

verdelite 写了： 2022年 12月 5日 12:19 不需要是欧式的。加一个时间轴，令其自我度量（eta(t,t)=-1），也是可以的。

纯代数意义上看，确实不需要欧式度量。但实际应用中大都用欧式度量。

YWY 写了： 2022年 12月 5日 12:28 纯代数意义上看，确实不需要欧式度量。但实际应用中大都用欧式度量。

我学的就是那少数：用民科司机空间扩展的geometric algebra来改写狄拉克方程。

这也该算个重要应用了吧。

Caravel 写了： 2022年 12月 5日 11:36 不错，这第一个链接也很informative，cross product跟wedge product有对偶关系，似乎和clifford algebra也有联系，这个值得展开一下，哪位懂的也可以说说。

联系就在这儿呀，我早就写了：

viewtopic.php?t=35874&start=20#p341830