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#1 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:20
由 yuzhou
填空 a+b = ？ 要快
a, b均为正整数
#2 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:27
由 Tesla
穷举法应该也很快
#3 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:28
由 yuzhou
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 18:27
穷举法应该也很快
五分钟能出来不，最好三分钟
#4 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:29
由 OPQ
90
#5 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:34
由 Tesla
90
#6 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:41
由 Fnhdx
有不是穷举法的解法吗？
#7 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:45
由 OPQ
4 | 4068， 9 | 4068，
So the problem reduces to a^2+b^2=113.
Now apply the method of enumeration.
#8 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:50
由 Tesla
OPQ 写了： 2025年 4月 20日 18:45
4 | 4068， 9 | 4068，
So the problem reduces to a^2+b^2=113.
Now apply the method of enumeration.
不理解
#9 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:51
由 greenspring
36是perfect square 可以化简成 6*(7+8)
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 18:50不理解
#10 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:52
由 OPQ
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 18:50不理解
The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068.
That is, x^2+y^2=113.
x = 7, y=8.
a=6x=42, b=6y=48.
a+b=90.
#11 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 18:57
由 LittleBear
90
#12 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:02
由 Tesla
OPQ 写了： 2025年 4月 20日 18:52
The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068.
That is, x^2+y^2=113.
x = 7, y=8.
a=6x=42, b=6y=48.
a+b=90.
你这个得已经知道两个都是6的倍数，
#13 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:11
由 OPQ
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 19:02
你这个得已经知道两个都是6的倍数，
这个是推出来的。已经说了，4 | 4068， 9 | 4068。
如果学过初等数论，这一步是显然的。
#14 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:22
由 Tesla
OPQ 写了： 2025年 4月 20日 19:11
这个是推出来的。已经说了，4 | 4068， 9 | 4068。
如果学过初等数论，这一步是显然的。
太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案
#15 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:25
由 OPQ
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 19:22
太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案
如果你知道数论的那几个相关定理，得到 “The problem reduces to (6 x)^2 + (6 y)^2 = 4068" 这个结论就是几秒钟的事情。
当然，学数论确实费时间。
#16 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:29
由 FGH
用复数
#17 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:30
由 kuku
丢番图？
#18 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:31
由 bam
Tesla 写了： 2025年 4月 20日 19:22
太费力了，还是直接穷举简单，也就5分钟的事
再说正整数是不是多此一举啊？整数也可以啊，大不了多几个答案
直接穷举慢啊
#19 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 19:44
由 MCJ
很简单的两个数字事实：
1）因为4068被4整除，a和b必须都是偶数。 奇数（2x+1）的平方产生4 余1
2）因为4068被9整除，a和b必须都是3倍数。 任何（3x+1) 和（3x+2）的平方之和产生3倍余数
所以原问题简化看4068/36=113是哪两个整数平方之和？答案是7和8，也就是a和b是42，48
#20 Re: 江苏数学竞赛题， 一个班全军覆没 已知 a^2 + b^2 =4068, 求 a+b
发表于 ： 2025年 4月 20日 20:17
由 sgisp2
排除法来做：
4068=4*1017，所以a和b一定是偶数；
a=2*a1,b=2*b1, a1^2+b1^2=1017 所以 a1和b1一个为奇数一个为偶数
a1=2*a2 b1=2*b2+1
则，这a2^2+b2*（b2+1）=254,
下面就数吧， b2=1...15, a2
b2=10,a2=12
b=42,a=48