群表示理论概要

[Caravel]

先列个大致提纲

group的定义就是带乘法的集合，满足封闭性，g1 * g2 = g3 也是群元素。还有结合性，有单位元和逆。

如果集合元素是有限的就是有限群，如果能index label则是discrete group，如果是用连续变量label的则是continuous group。

representation theory 则是寻找group在向量空间V上面的一个表示，最低需求是一个同态homomorphism 到 V上的 nxn 矩阵 GL(n, V)，也就是要求映射保持群的乘法. F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2). isomorphism是一对一的映射，更能表示群本来的结构。

下面有几个定理， Schur’s 定理， 正交定理， 还有特征标也就是矩阵的trace能够用来对group element分类。下次有时间再写。

[TheMatrix]

感觉很乱，没有什么通用的定理，还得一个个群具体分析

群表示理论？

[Caravel]

群表示理论？

对，representation theory

[FoxMe]

很巧我最近正在学，大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要，也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候，还不知道群论。后来学群论的时候，只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系：

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵（的倍数）
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换，很有系统，有几个核心定理（应该可以对应于傅立叶变换）。

[Caravel]

很巧我最近正在学，大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要，也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候，还不知道群论。后来学群论的时候，只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系：

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵（的倍数）
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换，很有系统，有几个核心定理（应该可以对应于傅立叶变换）。

对，可以一起来讨论，每个人的角度不一样，你这个看上去很有吸引力。

Wigner把群论引入物理得了诺贝尔奖，

[TheMatrix]

先列个大致提纲

group的定义就是带乘法的集合，满足封闭性，g1 * g2 = g3 也是群元素。还有结合性，有单位元和逆。

如果集合元素是有限的就是有限群，如果能index label则是discrete group，如果是用连续变量label的则是continuous group。

representation theory 则是寻找group在向量空间V上面的一个表示，最低需求是一个同态homomorphism 到 V上的 nxn 矩阵 GL(n, V)，也就是要求映射保持群的乘法. F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2). isomorphism是一对一的映射，更能表示群本来的结构。

下面有几个定理， Schur’s 定理， 正交定理， 还有特征标也就是矩阵的trace能够用来对group element分类。下次有时间再写。

群表示论我没有心得体会。这个贴跟一下。

[TheMatrix]

很巧我最近正在学，大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要，也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候，还不知道群论。后来学群论的时候，只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系：

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵（的倍数）
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换，很有系统，有几个核心定理（应该可以对应于傅立叶变换）。

共轭类对应不可约表示 - 这个怎么对应？

[TheMatrix]

讨论完了给它下个结论。纲举目张。

[tfusion]

尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

[verdelite]

尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

欢迎欢迎。转行就免了吧，有收入很重要的。可以业余研究着玩。别想着这奖那奖，主要是满足好奇心，自己满意就好。

[TheMatrix]

尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

业余爱好从来都不晚。

想拿奖什么时候都晚。

[Caravel]

尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

人专门吃这碗饭的都拿不上呢

[tfusion]

早上在床上没起来脑子里浮现一个小视频，可咋也想不起是啥词描述。

“香x”，想了半天，“香甜”，不太像，“香辣”，也不对。

后来才想起来是“香艳”。

奶奶的，书感觉已经老年痴呆早期症状了

[Caravel]

共轭类对应不可约表示 - 这个怎么对应？

共轭类的矩阵trace相同，所以应该是同一class

[FoxMe]

对，共轭类的数目等于不可约表示的数目。我也是在学，很多问题不明白，比如：

（正规）矩阵的酉对角化对应于群论里的什么？
矩阵的约当标准型对应于什么？

[Yellen]

representation theory 不一定是表示到一般线性群，同态到一个结构比较容易操作的群都是表示理论。

[Caravel]

representation theory 不一定是表示到一般线性群，同态到一个结构比较容易操作的群都是表示理论。

你说的可能是对的，但是我看的群论书上都是到一般线性群。可能这是最实用的群

[TheMatrix]

共轭类的矩阵trace相同，所以应该是同一class

hgh^{-1}和g的矩阵trace相同？Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗？

[verdelite]

hgh^{-1}和g的矩阵trace相同？Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗？

第一个回答我想应该是的。这是因为h/det(h)和h^{-1}/det (h^{-1})都是U阵，你写的就是一个相似变换。

我觉得我可能没说对，划掉算了。

[Caravel]

hgh^{-1}和g的矩阵trace相同？Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗？

对，共轭应该是更强的关系。共轭可以引出不变子群，商群的概念，但是我不发现这些抽象的用处