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群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 15日 19:58
Caravel
先列个大致提纲

group的定义就是带乘法的集合,满足封闭性,g1 * g2 = g3 也是群元素。还有结合性,有单位元和逆。

如果集合元素是有限的就是有限群,如果能index label则是discrete group,如果是用连续变量label的则是continuous group。

representation theory 则是寻找group在向量空间V上面的一个表示,最低需求是一个同态homomorphism 到 V上的 nxn 矩阵 GL(n, V),也就是要求映射保持群的乘法. F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2). isomorphism是一对一的映射,更能表示群本来的结构。

下面有几个定理, Schur’s 定理, 正交定理, 还有特征标也就是矩阵的trace能够用来对group element分类。下次有时间再写。

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 15日 20:06
TheMatrix
Caravel 写了: 2022年 12月 15日 19:58 感觉很乱,没有什么通用的定理,还得一个个群具体分析
群表示理论?

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 15日 21:31
Caravel
TheMatrix 写了: 2022年 12月 15日 20:06 群表示理论?
对,representation theory

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 13:07
FoxMe
很巧我最近正在学,大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要,也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候,还不知道群论。后来学群论的时候,只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系:

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵(的倍数)
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换,很有系统,有几个核心定理(应该可以对应于傅立叶变换)。

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 13:44
Caravel
FoxMe 写了: 2022年 12月 16日 13:07 很巧我最近正在学,大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要,也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候,还不知道群论。后来学群论的时候,只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系:

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵(的倍数)
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换,很有系统,有几个核心定理(应该可以对应于傅立叶变换)。
对,可以一起来讨论,每个人的角度不一样,你这个看上去很有吸引力。

Wigner把群论引入物理得了诺贝尔奖,

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 13:47
TheMatrix
Caravel 写了: 2022年 12月 15日 19:58 先列个大致提纲

group的定义就是带乘法的集合,满足封闭性,g1 * g2 = g3 也是群元素。还有结合性,有单位元和逆。

如果集合元素是有限的就是有限群,如果能index label则是discrete group,如果是用连续变量label的则是continuous group。

representation theory 则是寻找group在向量空间V上面的一个表示,最低需求是一个同态homomorphism 到 V上的 nxn 矩阵 GL(n, V),也就是要求映射保持群的乘法. F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2). isomorphism是一对一的映射,更能表示群本来的结构。

下面有几个定理, Schur’s 定理, 正交定理, 还有特征标也就是矩阵的trace能够用来对group element分类。下次有时间再写。
群表示论我没有心得体会。这个贴跟一下。

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 13:50
TheMatrix
FoxMe 写了: 2022年 12月 16日 13:07 很巧我最近正在学,大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要,也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候,还不知道群论。后来学群论的时候,只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系:

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵(的倍数)
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换,很有系统,有几个核心定理(应该可以对应于傅立叶变换)。
共轭类对应不可约表示 - 这个怎么对应?

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 13:57
TheMatrix
讨论完了给它下个结论。纲举目张。

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 14:12
tfusion
尼玛书从小对数学,物理非常有兴趣。但是家里穷,被迫做了码农。

现在已经53了,能转行数学家或者物理学家吗?还有可能拿炸药奖,我儿夫奖吗?

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 14:16
verdelite
tfusion 写了: 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学,物理非常有兴趣。但是家里穷,被迫做了码农。

现在已经53了,能转行数学家或者物理学家吗?还有可能拿炸药奖,我儿夫奖吗?
欢迎欢迎。转行就免了吧,有收入很重要的。可以业余研究着玩。别想着这奖那奖,主要是满足好奇心,自己满意就好。

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 14:19
TheMatrix
tfusion 写了: 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学,物理非常有兴趣。但是家里穷,被迫做了码农。

现在已经53了,能转行数学家或者物理学家吗?还有可能拿炸药奖,我儿夫奖吗?
业余爱好从来都不晚。

想拿奖什么时候都晚。

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 14:34
Caravel
tfusion 写了: 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学,物理非常有兴趣。但是家里穷,被迫做了码农。

现在已经53了,能转行数学家或者物理学家吗?还有可能拿炸药奖,我儿夫奖吗?
人专门吃这碗饭的都拿不上呢

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 14:38
tfusion
早上在床上没起来脑子里浮现一个小视频,可咋也想不起是啥词描述。

“香x”,想了半天,“香甜”,不太像,“香辣”,也不对。

后来才想起来是“香艳”。

奶奶的,书感觉已经老年痴呆早期症状了

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 15:11
Caravel
TheMatrix 写了: 2022年 12月 16日 13:50 共轭类对应不可约表示 - 这个怎么对应?
共轭类的矩阵trace相同,所以应该是同一class

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 15:58
FoxMe
对,共轭类的数目等于不可约表示的数目。我也是在学,很多问题不明白,比如:

(正规)矩阵的酉对角化对应于群论里的什么?
矩阵的约当标准型对应于什么?

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 16:08
Yellen
representation theory 不一定是表示到一般线性群,同态到一个结构比较容易操作的群都是表示理论。

Re: 群表示理论概要

发表于 : 2022年 12月 16日 16:52
Caravel
Yellen 写了: 2022年 12月 16日 16:08 representation theory 不一定是表示到一般线性群,同态到一个结构比较容易操作的群都是表示理论。
你说的可能是对的,但是我看的群论书上都是到一般线性群。可能这是最实用的群

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 17:34
TheMatrix
Caravel 写了: 2022年 12月 16日 15:11 共轭类的矩阵trace相同,所以应该是同一class
hgh^{-1}和g的矩阵trace相同?Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗?

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 18:00
verdelite
TheMatrix 写了: 2022年 12月 16日 17:34 hgh^{-1}和g的矩阵trace相同?Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗?
第一个回答我想应该是的。这是因为h/det(h)和h^{-1}/det (h^{-1})都是U阵,你写的就是一个相似变换。

我觉得我可能没说对,划掉算了。

Re: 群表象理论

发表于 : 2022年 12月 16日 18:35
Caravel
TheMatrix 写了: 2022年 12月 16日 17:34 hgh^{-1}和g的矩阵trace相同?Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗?
对,共轭应该是更强的关系。共轭可以引出不变子群,商群的概念,但是我不发现这些抽象的用处