新未名空间

Caravel 写了： 2022年 12月 15日 19:58 感觉很乱，没有什么通用的定理，还得一个个群具体分析

TheMatrix 写了： 2022年 12月 15日 20:06 群表示理论？

FoxMe 写了： 2022年 12月 16日 13:07 很巧我最近正在学，大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要，也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候，还不知道群论。后来学群论的时候，只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系：

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵（的倍数）
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换，很有系统，有几个核心定理（应该可以对应于傅立叶变换）。

Caravel 写了： 2022年 12月 15日 19:58 先列个大致提纲

group的定义就是带乘法的集合，满足封闭性，g1 * g2 = g3 也是群元素。还有结合性，有单位元和逆。

如果集合元素是有限的就是有限群，如果能index label则是discrete group，如果是用连续变量label的则是continuous group。

representation theory 则是寻找group在向量空间V上面的一个表示，最低需求是一个同态homomorphism 到 V上的 nxn 矩阵 GL(n, V)，也就是要求映射保持群的乘法. F(g1 * g2) = F(g1) * F(g2). isomorphism是一对一的映射，更能表示群本来的结构。

下面有几个定理， Schur’s 定理， 正交定理， 还有特征标也就是矩阵的trace能够用来对group element分类。下次有时间再写。

FoxMe 写了： 2022年 12月 16日 13:07 很巧我最近正在学，大家能讨论就好了。群表示论在解析数论中非常重要，也是研究数论的人最先搞出来的。

群表示论 = 线性代数 + 群论

以前学线性代数的时候，还不知道群论。后来学群论的时候，只有几个矩阵的例子。

群论和矩阵有很强的对应关系：

群 --> 矩阵
共轭 --> 相似变换
阿贝尔 --> 可同时对角化
中心 --> 单位阵（的倍数）
character --> trace
共轭类 --> 不可约表示

我感觉本质上是群上的傅立叶变换，很有系统，有几个核心定理（应该可以对应于傅立叶变换）。

tfusion 写了： 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

tfusion 写了： 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

tfusion 写了： 2022年 12月 16日 14:12 尼玛书从小对数学，物理非常有兴趣。但是家里穷，被迫做了码农。

现在已经53了，能转行数学家或者物理学家吗？还有可能拿炸药奖，我儿夫奖吗？

TheMatrix 写了： 2022年 12月 16日 13:50 共轭类对应不可约表示 - 这个怎么对应？

Yellen 写了： 2022年 12月 16日 16:08 representation theory 不一定是表示到一般线性群，同态到一个结构比较容易操作的群都是表示理论。

Caravel 写了： 2022年 12月 16日 15:11 共轭类的矩阵trace相同，所以应该是同一class

TheMatrix 写了： 2022年 12月 16日 17:34 hgh^{-1}和g的矩阵trace相同？Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗？

TheMatrix 写了： 2022年 12月 16日 17:34 hgh^{-1}和g的矩阵trace相同？Tr(ab)=Tr(a).Tr(b)吗？