高中都学圆锥曲线。为什么学圆锥曲线不学圆柱曲线？就是因为圆锥曲线是齐次方程截取的曲线。圆锥曲面就是齐次方程的解集。而圆柱曲面不是。圆锥曲面和圆柱曲面都是直纹面 - 由一根一根直线组成的。但是圆锥曲面的每根直线都通过原点，不仅是直线，还是线性子空间。而圆柱曲面每根直线不是线性子空间。所以圆锥曲面圆锥曲线比较好研究。
不过圆锥曲面是二次曲面，圆锥曲线是二次曲线。扩展到三次就到了三次曲面和椭圆曲线。
圆锥曲线的方法，是先维度升上去，（升一维），然后在高一维的空间中，考察一个几何物体，以这个物体的不同截面，来统一低一维上的各种曲线。统一与联系，这是数学中的一个主题。
齐次方程还有一个好处，就是方便处理无穷大。拓扑上看，它是一个compact space。一个space它是compact的，就可以有穷尽分类研究的可能。
圆锥曲线与齐次方程
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y2z=x3+xz2+z3
右边是该曲线对应的齐次方程的直纹面，以x-轴为旋转轴旋转10°（上半部分朝向我们），再被z=1平面截取的曲线。
也就是说这两个曲线的直纹面应该是一样的。I had a hard time to imagine it.
直纹面的起始点都是原点，就是图中所有绿色直线交汇的点。图中黑色的cube是(x,y,z)从(0,0,0)到(3,5,1)的cube。最大的这个正面，往上是z方向，往左是y方向，往里是x方向。
蓝色的曲线就是通常的二维图曲线。这里只画了y>0的部分，也就是曲线的上半部分。在三维图中，它应该是在z=1平面上的，也就是黑色cube的上平面，标志了蓝色的那个平面。
蓝色曲线应该往y=infinity方向延申，但是我们用y=5这个平面截取它，也就是标志了红色的那个面。可以看出直纹面在往y=infinity处延申时，其截面曲线又回到了z=0。
线图还是看不清楚。至少要光影图。最好是3d打印实物模型。另外，实物模型的截面也很难想象，最好是实物切割，然后直接看截面。