本文是对下面这篇文章中第1.1节的部分翻译，并加上了自己的理解与说明，希望对思考“数学与科学的关系”提供一点儿帮助，尤其是思考“数学与物理学的关系”。希望起到一个抛砖引玉的作用，非常建议对此又兴趣的读者去阅读英文原文。
Mancosu, Paolo, Francesca Poggiolesi, and Christopher Pincock, "Mathematical Explanation", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2025 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), https://plato.stanford.edu/archives/win ... xplanation
1. 亚里斯多德对“解释”的理解
数学究竟有助于解释物理世界，还是反而会妨碍我们把握那些能够说明自然现象之“如何”与“为何”的物理机制？这里不可能对这一问题的全部复杂性作出完整讨论，但以下几点说明将有助于读者理解这个问题在历史上的重要性。
亚里士多德在《后分析篇》（Posterior Analytics）中描述其科学知识的理想时，所强调的内容之一就是对原因的认识：
当我们认为自己知道某一事实所依赖的原因，而且知道这个原因正是该事实的原因，而不是别的事实的原因，并且进一步知道该事实不可能不同于它实际上所是的样子时，我们才认为自己对这个事物具有无条件的科学知识，而不是像智者派那样仅仅以偶然的方式知道它。（BWA,111,Post. An. I.1, 71b 5–10）
这里所说的“原因”［aitia］，就是亚里士多德的四种原因：形式因、质料因、动力因和目的因（formal, material, efficient, and final）。如今，亚里士多德的许多译者和注释者更倾向于把 aition［aitia］译为“解释”（explanation），于是“四因说”也就可以被理解为关于"四种解释类型"的理论。例如，巴恩斯（Barnes）对上面那段话的翻译是：“每当我们认为自己不仅知道某物之所以如此的解释，而且知道这一解释确实是它的解释，并且知道事情不可能是别的样子时，我们才认为自己真正地、无条件地理解了这个事物，而不是以智者派那种偶然的方式理解它”。
那么，我们究竟如何获得科学知识呢？科学知识是通过证明（demonstration）获得的。然而，并不是所有在逻辑上成立的证明，都能够提供那种产生科学知识的证明。在一种科学证明中，
“前提必须是真实的（true）、第一性的（primary）、直接的（immediate），并且比结论更为人所知、在认识上先于结论（better known and prior to the conclusion）；而结论与这些前提之间的关系，则如同结果与原因之间的关系”。
在巴恩斯的译文中则是：
“因此，如果理解确如我们所设定的那样，那么证明性的理解尤其必须依赖于那些真实的、原初的、直接的、比结论更为熟悉且先于结论，并且能够解释结论的东西。”
相应地，在《后分析篇》第一卷第13章中，亚里士多德区分了两种证明：一种是关于“事实如此”的证明（demonstrations “of the fact”），另一种是关于“事实何以如此”的证明（demonstrations “of the reasoned fact”）。虽然二者在逻辑上都可以成立，但只有后一种证明能够映照所研究现象的因果结构，因而能够为我们提供真正的科学知识。我们可以分别把这两类证明称为“非解释性证明”和“解释性证明”。
（译者说明：demonstration of the fact 和 demonstration of the reasoned fact 对应亚里士多德很重要的一个区分，通常也可以更直观地理解成：知道事实如此（know that it is so）与知道为什么如此（know why it is so）。亚里士多德不是把“逻辑有效”本身等同于“解释”。一个论证即使形式上完全正确，如果它没有按照正确的因果方向来组织，就只能证明某事实成立，却不能告诉我们为什么它成立。）
相应地，在《后分析篇》第一卷第13章中，亚里士多德区分了关于“事实如此”的证明与关于“事实何以如此”的证明。虽然二者在逻辑上都可以成立，但只有后一种证明能够映照所研究现象的因果结构，并由此为我们提供真正的知识。我们可以分别把它们称为“非解释性证明”和“解释性证明”。
在亚里士多德的体系中，物理学本身并没有被数学化，尽管因果推理正是物理学所特有的重要推理方式。不过，亚里士多德也对所谓的“混合科学”（mixed sciences）作了大量讨论，例如光学、和声学和力学，并把它们称为“数学诸科学中较具物理性的那些科学”。这些混合科学与纯数学的某些领域之间存在一种从属关系（subordination）。例如，和声学从属于算术，而光学则从属于几何学。
亚里士多德毫不怀疑，物理现象可以得到数学解释：
因为在这里，经验科学家的任务是知道“事实如此”，而数学家的任务则是知道“为什么如此”；因为后者掌握关于解释的证明，却往往并不知道有关的事实，正如那些研究普遍事物的人，由于缺乏观察，往往并不知道某些具体事物一样。（CWA, vol. I, 128, Post. An. I.13, 79a1–79a7）
不过，数学是否能够对自然现象提供解释，一直是一个存在争议的问题。随着数学能够应用的领域不断扩大，对这种应用的抵触也随之增强。其中一个重要的张力来源，在于如何调和亚里士多德对纯数学的理解与自然科学实践之间的关系。按照亚里士多德的看法，纯数学是通过抽离质料与运动（abstracting from matter and motion）来研究对象的；然而，物理学（即自然哲学）和各种混合科学所讨论的都是自然现象，因此都不可避免地依赖于质料和运动。
例如，文艺复兴时期曾发生过一场重要争论，通常被称为 Quaestio de Certitudine Mathematicarum，即“数学确定性之争”。这场争论在很大程度上集中于：数学究竟能否承担亚里士多德赋予它的那种解释作用。一些人主张，数学由于缺乏因果性，因此不能在自然现象的解释中充当真正具有“解释性”的环节。
（译者说明：Mixed sciences 不是现代意义上的“交叉学科”。在亚里士多德那里，它们更接近“混合数学科学”：研究对象是物理现象，但解释原则来自数学。例如光学研究光这种物理现象，却借助几何学来解释；和声学研究声音，却借助数的比例来解释。Subordination 不是简单的“从属”，而是说某门较具体的科学借用另一门更抽象科学的原理。比如：“光学 ← 几何学”和“声学 ← 算术”。所以亚里士多德这里已经承认一种很重要的解释结构：经验科学告诉我们“事实是什么”，数学则可以告诉我们“为什么如此”。这也是后世“数学能否真正解释自然现象”这个问题非常早的历史源头。）
2. 牛顿力学改变了“解释”这个概念
到了十七世纪以及物理学中的牛顿革命时期，这个问题又重新出现了，不过此时它所处的背景，是解释标准与可理解性标准本身发生了变化。Y. Gingras（2001）在一篇文章中对此作了十分精彩的描述。Gingras 主张：“数学在动力学中的运用——不同于它在运动学中的运用——改变了十七世纪哲学家使用‘解释’这一术语时该词本身的含义”。
Gingras 所描述的内容之一，是牛顿及其追随者对“力”所采取的数学处理方式，如何在十八世纪逐渐成为一种被接受的解释标准。这种处理方式并不追问能够说明这种力为何以及如何发生作用的具体机制，而是直接以数学形式刻画力及其效应。在讨论了十七、十八世纪围绕引力的机械解释所展开的争论之后，他写道：
这一事件表明，对于什么才算是可以接受的“解释”——这里具体指对引力的解释——其评价标准正在逐渐转向数学，而远离机械解释。当人们面对一种已经具有数学表述、却尚不存在机械解释的现象时，越来越多的人宁愿选择前者，即使代价是无法找到后者。这是一种新的情况。在整个十七世纪以及十八世纪的大部分时期，“解释”一个物理现象，意味着给出参与产生该现象的某种物理机制。……牛顿《自然哲学的数学原理》的出版，标志着这一转变的开始：当机械解释与数学计算不相符合时，人们开始更倾向于接受数学解释，而不是机械解释。（Gingras 2001, 398）
（译者说明：Gingras 想要强调的并不仅仅是牛顿物理学大量运用了数学，而是：牛顿物理学改变了人们关于什么才算“解释”的标准。
在机械哲学占主导地位的时期，一个真正的物理解释通常应当说明：某种自然现象究竟是通过怎样的接触、碰撞、压力、涡旋或其他具体机械过程产生的。因此，当牛顿提出万有引力理论时，一个著名的困难就在于：他能够极其精确地用数学描述引力如何随质量与距离而变化，却没有提供一个说明引力究竟“通过什么机械媒介发生作用”的具体机制。按照较早的解释标准，人们很容易认为：牛顿虽然算对了，却还没有真正解释引力。
然而，随着牛顿物理学在十八世纪逐渐获得成功，解释的评价标准也开始发生变化。人们越来越能够接受这样一种观念：如果一种数学理论能够准确刻画自然现象之间的系统关系，并且其数学结果与实际现象相符合，那么即使尚未找到产生这一现象的底层机械机制，这种数学表述本身仍然可以具有真正的解释意义。
因此，Gingras 所描述的是“解释”概念的一次重要历史转型：从把解释主要理解为揭示产生现象的机械机制，逐渐转向承认数学关系和数学表述本身也可以承担解释作用。
这里并不是说机械解释从此被数学解释完全取代，而是说，数学逐渐获得了一种此前并不普遍被承认的独立解释资格：对于一个物理现象，人们不再认为只有找到其背后的机械装置或机械过程，才算真正理解了它。）
3. 是否要回归到“对机制的解释”？
当代的一些讨论与上述忧虑也十分接近。以莫里森（Morrison）的《统一科学理论》（Unifying Scientific Theories，2000）为例。该书的一个主要论点是：统一与解释往往朝着不同的方向发展，二者并不总是相伴而行（unification and explanation often pull in different directions and come apart）。她在导论中讨论的一个例子，使我们想起卡斯特尔（Castel）的反对意见：
另一个例子，是牛顿《自然哲学的数学原理》中对地上现象与天上现象的统一。尽管牛顿受到笛卡尔机械论的影响，《原理》最引人注目的特征之一，却是它不再以机械原因来解释行星运动。相反，它突出的是力的数学形式；开普勒所发现的行星椭圆轨道，则通过对产生这些运动的力所作的数学描述而得到“解释”。当然，引力的平方反比定律确实解释了为什么行星会以这种方式运动，但是，它并没有解释这种引力究竟如何作用于物体——也就是说，这种作用如何传递——同样也没有说明这种力具有怎样的因果性质。（Morrison 2000，4）
通过若干案例研究——例如麦克斯韦电磁理论、电弱统一等——莫里森主张，统一过程中所涉及的数学结构，“往往几乎不能、甚至完全不能为统一理论的物理动力学提供理论解释”（Morrison 2000,）。简言之，数学形式体系有助于实现理论统一，却未必能够帮助我们解释物理现象究竟如何发生以及为何发生。关于这些历史性的讨论，我们在这里必须暂且告一段落。尽管如此，如果能够以一种更系统的方式，把这些问题继续追踪到十九世纪和二十世纪，无疑会很有意义。
（译者说明：牛顿所提供的是对自然现象的“数学形式与运动规律”的刻画，但其中欠缺传统机械论所要求的内容：具体的作用机制、这种作用究竟如何传递，以及有关力本身的因果性质。
因此，莫里森这里的讨论与前文 Gingras 的历史叙述十分接近，但二者的着重点有所不同。Gingras 所强调的是，牛顿物理学促使人们关于“什么才算解释”的标准发生了历史性的变化；莫里森则借牛顿的例子说明一个更一般的哲学问题：一个理论即使实现了高度的统一——例如用同一套引力理论统一地面物体的运动、月球运动和行星运动——也并不意味着它已经提供了传统机械论意义上关于这些现象究竟如何产生的机制解释。
换言之，统一可以告诉我们，看似不同的现象如何服从同一套规律，或者如何能够被纳入同一个数学形式体系，却未必告诉我们产生这些现象的物理或因果机制究竟如何运作。这也正是莫里森所谓“统一与解释往往朝着不同方向发展，二者并不总是相伴而行”的含义。）
