谈谈外代数

[verdelite]

这么厉害。以后再请教。

就在本版呀，thread:

viewtopic.php?t=35874

弃婴认为我学得太慢，应该一个星期就学完包括做习题。

如果他在偷看本版我估计他心痒痒却苦于不能参与讨论，LOL

[TheMatrix]

我学的就是那少数：用民科司机空间扩展的geometric algebra来改写狄拉克方程。

这也该算个重要应用了吧。

对。叫nondegenerate bilinear form。欧式度量，明可夫斯基度量，都可以。

[Caravel]

对。这就是叉乘和外乘的关系。

一个n维向量空间，选定一组基 (e1,e2,...,en)，外乘最高形式为n个：
e1 ^ e2 ^ ... ^ en

不到n个的外乘，可以有对偶，就是补集：
e1 --> e2 ... ^ en
e1 ^ e2 --> e3 ^ ... ^ en

任意向量外乘，每个向量写成基的线性叠加，也有对偶。

所以在3维空间中，2个向量外乘，可以对偶到一个向量，这就是叉乘。
在n维空间中，n-1个向量可以外乘，对偶到一个向量，也可以叫叉乘。

这个对偶，有个很牛的名字叫Hodge dual operator, 可见创新就是你走到这一步就水到渠成了。

[TheMatrix]

抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

对。

外代数的向量空间，一般都选定了一组基，也就是有一个欧式度量，你这里谈到面积体积的时候就用到了欧式度量。

数学里面有的时候不需要选定一组基，也可以定义外代数。比较confuse。但是数学比较重视谁和谁的依赖关系 - 花了不少精力在顺序上。

[TheMatrix]

这个对偶，有个很牛的名字叫Hodge dual operator, 可见创新就是你走到这一步就水到渠成了。

是这么回事。

就是
1，走到1号楼
2，上到3楼
3，进入302房间
4，左手边有个柜子
5，打开中间那个抽屉
6，里面有一个纸条
7，纸条上写了两个字
8，把这两个字读回来，你就拿Fields奖！

哈。

[Caravel]

对。

外代数的向量空间，一般都选定了一组基，也就是有一个欧式度量，你这里谈到面积体积的时候就用到了欧式度量。

数学里面有的时候不需要选定一组基，也可以定义外代数。比较confuse。但是数学比较重视谁和谁的依赖关系 - 花了不少精力在顺序上。

我一般关注能算点什么东西出来，长时间的抽象运算可能需要童子功，所以法国那些优秀高中生就开始学这些以后做研究非常有优势。

[Caravel]

就在本版呀，thread:

viewtopic.php?t=35874&start=20

弃婴认为我学得太慢，应该一个星期就学完包括做习题。

如果他在偷看本版我估计他心痒痒却苦于不能参与讨论，LOL

感觉还意犹未尽，能不能再扩展一点, clifford algebra内容上要丰富很多啊

[FoxMe]

联系就在这儿呀，我早就写了：

https://newmitbbs.com/viewtopic.php?t=3 ... 20#p341830

总结得很好。那么exterior algebra, geometric algebra, Clifford algebra是什么关系？

我知道为什么以前学不会Clifford algebra的原因了，因为我没有搞懂exterior product.

我以前会quaternion，但是Clifford algebra始终打不通。

[TheMatrix]

抛砖引玉啊，矩阵等人进来补充

外代数就是用wedge product ^ 作为乘法的代数。

两个vector， v，w，

1) 满足anticommutative, 也就是 v ^ w = - w ^ v.
2) 满足bilinearity， 也就是 （c v) ^ w = v^(c w) = c v ^ w.

1. 他们的wedge product的magintude 可以用几何解释，为有方向的面积，体积，可以推广到高维。
比如 v ^ w 代表了 vector v，w组成的平行四边形的有向面积
v1 ^ v2 ^ v3 则代表了v1，v2，v3 组成的六面体的体积。

如果v1，v2，v3线性相关，则结果为0.

一般使用正交坐标系 {ei} 计算的话
v1 = a11 e1 + a12 e2
v2 = a21 e1 + a22 e2

v1 ^ v2 = a11 * a21 e1 ^ e1 + a11*a22 e1^e2 + a12 * a21 e2 ^ e1 + a12 * a22 e2 ^ e1

由于 e1 ^ e1 = 0, e2^e2 = 0, e1 ^ e2 = - e2 ^ e1,

v1 ^ v2 = (a11 * a22 - a12 * a21) e1 ^ e2

不难看出这就是一个二阶行列式的值，这套计算可以推广到高维，很容易用到计算几何学里

2. 这个算法看上去跟cross product很像，但是也有不一样，cross product的结果依然是一个普通的vector，二外乘之后的结果已经是在另外一个bivector 的线性空间上了

3. 似乎跟张量也有类似，但是并不一样，这个我还没有理清。

tensor algebra, exterior algebra, symmetric algebra，这三个关系很强。有很多种方式理解。

其中一种是：

Symmetric algebra相当于多项式。n维向量空间选定一组基，就相当于选定n元变量，symmetric algebra相当于n元变量多项式（的集合）。

tensor algebra相当于不可换序的多项式。exterior algebra相当于可换序但是变号的多项式。

所以tensor algebra是最大的集合。Symmetric algebra和exterior algebra都是tensor algebra外加某种限制得到的，属于商空间。

[FoxMe]

总结得很好。那么exterior algebra, geometric algebra, Clifford algebra是什么关系？

我知道为什么以前学不会Clifford algebra的原因了，因为我没有搞懂exterior product.

我以前会quaternion，但是Clifford algebra始终打不通。

我明白了。
exterior algebra只有外积： a ^ b
geometric algebra有几何积：ab = a.b + a ^ b
Clifford algebra：和geometric algebra基本是一回事（后者定义在实数上）。

[YWY]

我明白了。
exterior algebra只有外积： a ^ b
geometric algebra有几何积：ab = a.b + a ^ b
Clifford algebra：和geometric algebra基本是一回事（后者定义在实数上）。

Clifford algebra是exterior algebra的推广，Clifford algebra的建立依赖于取定一个二次项（quadratic form）。exterior algebra是当quadratic form被选为常零函数时的特殊情况。

[FoxMe]

tensor algebra, exterior algebra, symmetric algebra，这三个关系很强。有很多种方式理解。

其中一种是：

Symmetric algebra相当于多项式。n维向量空间选定一组基，就相当于选定n元变量，symmetric algebra相当于n元变量多项式（的集合）。

tensor algebra相当于不可换序的多项式。exterior algebra相当于可换序但是变号的多项式。

所以tensor algebra是最大的集合。Symmetric algebra和exterior algebra都是tensor algebra外加某种限制得到的，属于商空间。

矩阵兄水平很高，这些东西是什么课学的？
symmetric algebra = tensor algebra / （commutators）可交换
exterior algebra = tensor algebra / （x tensor x）不可交换

tensor algebra这些东西用量子来实现是否比较方便？tensor product很容易用量子来实现。

[FoxMe]

Clifford algebra是exterior algebra的推广，Clifford algebra的建立依赖于取定一个二次项（quadratic form）。exterior algebra是当quadratic form被选为常零函数时的特殊情况。

这个角度很好。我目前关心的就是二次型（quadratic form），想搞清楚二次型和Clifford algebra的关系。

为啥研究二次型需要去研究Clifford algebra？

[FoxMe]

感觉还意犹未尽，能不能再扩展一点, clifford algebra内容上要丰富很多啊

是的。比如Spin group, spinor norm这些东西，是如何从Clifford algebra导出的？

[verdelite]

我明白了。
exterior algebra只有外积： a ^ b
geometric algebra有几何积：ab = a.b + a ^ b
Clifford algebra：和geometric algebra基本是一回事（后者定义在实数上）。

Clifford弄这个代数的时候叫它geometric algebra. 后人也叫它Clifford algebra，以纪念Clifford 的贡献。

[verdelite]

是的。比如Spin group, spinor norm这些东西，是如何从Clifford algebra导出的？

这些在弃婴推荐的书里面第三章。有兴趣你可以自己去看，网上可下载。我说不清楚因为我没看完那章。

[verdelite]

这个角度很好。我目前关心的就是二次型（quadratic form），想搞清楚二次型和Clifford algebra的关系。

为啥研究二次型需要去研究Clifford algebra？

二次型是线性代数内容，和Clifford algebra没关系。

[FoxMe]

这些在弃婴推荐的书里面第三章。有兴趣你可以自己去看，网上可下载。我说不清楚因为我没看完那章。

正在看。

[FoxMe]

二次型是线性代数内容，和Clifford algebra没关系。

哈哈

[verdelite]

哈哈

那就是我们说的不同的事或者一个事的不同方面。我说的是线性代数里面有关实对称阵或者hermitian matrix的事。