高维勾股定理和余弦公式

[verdelite]

你说的 “其他问题” 是指啥？如果是指上面的 “哲学问题”：“为啥高维也是平方和？” 的话，那我觉得我的解答（更正版之后的）应该足够给出这个哲学直观：本质上就是说这个 canonical simplex 的特殊面（二维就是斜边）在不同坐标平面上的投影构成了剩余的 n 个正规面（二维就是两个直角边），而投影是只依赖于这个特殊面的 outer normal 的（即我的记号里的 p），在这个意义下，\|p\|_2 = 1 (which is by definition) 就蕴含了高维勾股定理。说得更玄学一点的话：“都是平方和” 是因为欧式空间的朴素內积定义就是点乘，所以 self inner product 决定的度量就只能是平方和，而不是某个和 dimension n 相关的东西。n 这个 dimension 指标体现在对坐标 i 求和的地方，而不是这个 power-2 的幂次上。

其他问题指这个版正在讨论的其他问题。例如群的表示论、外积空间等等。

[lbs]

其他问题指这个版正在讨论的其他问题。例如群的表示论、外积空间等等。

那些高大上的咱不懂。俺就是个农民工。

[TheMatrix]

你说的 “其他问题” 是指啥？如果是指上面的 “哲学问题”：“为啥高维也是平方和？” 的话，那我觉得我的解答（更正版之后的）应该足够给出这个哲学直观：本质上就是说这个 canonical simplex 的特殊面（二维就是斜边）在不同坐标平面上的投影构成了剩余的 n 个正规面（二维就是两个直角边），而投影是只依赖于这个特殊面的 outer normal 的（即我的记号里的 p），在这个意义下，\|p\|_2 = 1 (which is by definition) 就蕴含了高维勾股定理。说得更玄学一点的话：“都是平方和” 是因为欧式空间的朴素內积定义就是点乘，所以 self inner product 决定的度量就只能是平方和，而不是某个和 dimension n 相关的东西。n 这个 dimension 指标体现在对坐标 i 求和的地方，而不是这个 power-2 的幂次上。

对。相当于各个方向角的余弦平方和等于1。

[YWY]

用内积解决这个问题。假设四个顶点为0,a,b,c，分别对着D,A,B,C。则
A^2=(b,b)(c,c)-(b,c)(b,c)
B^2=(c,c)(a,a)-(c,a)(c,a)
C^2=(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)
D^2=(a-c,a-c)(b-c,b-c)-(a-c,b-c)(a-c,b-c)
=(b,b)(c,c)-(b,c)(b,c)+(c,c)(a,a)-(c,a)(c,a)+(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)
+2(a,b)(a,c)-2(a,a)(b,c)+2(b,c)(b,a)-2(b,b)(c,a)+2(c,a)(c,b)-2(c,c)(a,b).

A B cos(AB)=(a',b')(c,c) [a',b'为a,b在c垂直面的投影]
=(a-c(a,c)/(c,c),b-c(b,c)/(c,c))(c,c)
=(c,c)(a,b)-(c,a)(c,b)
类似，
B C cos(BC)=(a,a)(b,c)-(a,b)(a,c),
C A cos(CA)=(b,b)(c,a)-(b,c)(b,a).

说说过程啊。虽然三维空间里三个点围成的面积有公式，但你给出的那些等式全都跳过了推导过程，是想让大家自行推导？

也可能是我眼拙，很显然的东西我没看出来。

不是说你写的是错的。总之，能加些细节就完美了。或者写在纸上，然后上传照片。

[YWY]

md, 我发现我其实搞错了。投影应该是这么投的：“特殊面” 向第 i 个 “正规面” 的投影，是 S_{特殊面} * p_i (其中 S 表示 “高维面积”)。所以 S_{特殊面} ^ 2 * p_i ^ 2 = S_{正规面_i } ^ 2，然后再对 i 求和并注意到 p 是单位向量即可。

我上面把正规面往特殊面投，其实搞复杂了，而且结论是过不去的（得到的是另一个奇奇怪怪的四不像的关系等式，并不是题目中想要的高维勾股定理）。之前那个推导里还要注意到这个 canonical simplex 上的 “正规面” 往 “特殊面” 投影会完全覆盖 “特殊面”，这对有一定几何直观能力的人来说是显然的，但严格论证并不那么 trivial。现在这个更正版本不需要这个前提了，直接把特殊面往正规面上投就行，不需要很复杂的 “直观观察”。

你的思路非常赞，谢指点。

但是，也不要说我们“吭哧吭哧的算”就一定是缺点。你的证明里的很多论据，虽然没错，但严格来说都需证明。比如为什么正规面的面积是特殊面面积乘以p_i，高维上这个投影公式为什么对？我不是怀疑这个公式，也不是说你必须给出严格证明，我只想说严格来说这些公式都需要证明，而严格证明都是建立在“吭哧吭哧的算”的基础上。而本楼前面给出的证明只依赖于n维欧氏空间里n个点围成的多面体的体积公式，然后通过“吭哧吭哧的演算”给出证明。

再说一句，丝毫没有贬低你的证明的意思。我个人非常喜欢你给的证明，很直观，也让我对这个高维勾股定理有了直观的理解。

[lbs]

你的思路非常赞，谢指点。

但是，也不要说我们“吭哧吭哧的算”就一定是缺点。你的证明里的很多论据，虽然没错，但严格来说都需证明。比如为什么正规面的面积是特殊面面积乘以p_i，高维上这个投影公式为什么对？我不是怀疑这个公式，也不是说你必须给出严格证明，我只想说严格来说这些公式都需要证明，而严格证明都是建立在“吭哧吭哧的算”的基础上。而本楼前面给出的证明只依赖于n维欧氏空间里n个点围成的多面体的体积公式，然后通过“吭哧吭哧的演算”给出证明。

再说一句，丝毫没有贬低你的证明的意思。我个人非常喜欢你给的证明，很直观，也让我对这个高维勾股定理有了直观的理解。

前面那个行列式体积公式法其实是不错的，计算不麻烦。结合Cauchy-Binet 公式可以很容易得到结论。不过严格来说的话，补全我的证明其实需要的前置条件相比之下确实少很多，而且确实不需要 “吭哧吭哧地算”。我们来说说我的思路里到底还需要哪些前置知识：
其实就是这一个：n 维空间中，两个 n - 1 维 subdimensional space 互相做投影的话，投影的 discount 系数是两个 space 的法向量的內积。
这个几乎是 trivial 的，因为这两个 n - 1 维 subspace 相交出了一个 n - 2 维的 space，再结合上两个法向量就会张成全空间。你可以直接沿着两个法向量和这个 n - 2 维子空间建立正交坐标系，几乎不需通过额外计算就可以看出这个 n 维情形和二维三维的情形没有任何区别。所以这个里面没有 “吭哧吭哧地算” 这么个情况。当然，这上面很多地方也依赖于线性代数的背景知识（比如为什么在 n 维空间中随便取两个 n - 1 维 subspace 他们会相交出一个 n - 2 维的 subspace，就好像三维空间中两个平面总是交于一条直线一样（刨去退化的情形）？），但这些知识基本都只涉及 rank，linear dedpence 这类常见的线性代数直观概念，可以看做低维线性空间的 trivial 推广，并没有 “吭哧吭哧计算得到 general 命题“ 的情形。你只要培养起这种直观，就可以一眼看出这个东西是怎么 generalize 到高维的。这个和那个计算矩阵体积公式再用外微分或者 Cauchy-Binet 公式去算的方式确实是不太相同的。而且也并没有试图通过隐藏某些更高深的定理/步骤或者跳过某些需要繁琐计算的命题来假装 “简化” 论证过程。

[lbs]

或者这么说，利用行列式或者 Cauchy-Binet 公式来计算 “矩阵体积” 这个事情本身，需要的证明和前置知识就已经远远超过这个 “高维投影 <=> 法向量夹角” 所需要的范围了。所以这里面 “吭哧吭哧地算” 其实已经蕴含了很大很大的前提在里面。

[Caravel]

前面那个行列式体积公式法其实是不错的，计算不麻烦。结合Cauchy-Binet 公式可以很容易得到结论。不过严格来说的话，补全我的证明其实需要的前置条件相比之下确实少很多，而且确实不需要 “吭哧吭哧地算”。我们来说说我的思路里到底还需要哪些前置知识：
其实就是这一个：n 维空间中，两个 n - 1 维 subdimensional space 互相做投影的话，投影的 discount 系数是两个 space 的法向量的內积。
这个几乎是 trivial 的，因为这两个 n - 1 维 subspace 相交出了一个 n - 2 维的 space，再结合上两个法向量就会张成全空间。你可以直接沿着两个法向量和这个 n - 2 维子空间建立正交坐标系，几乎不需通过额外计算就可以看出这个 n 维情形和二维三维的情形没有任何区别。所以这个里面没有 “吭哧吭哧地算” 这么个情况。当然，这上面很多地方也依赖于线性代数的背景知识（比如为什么在 n 维空间中随便取两个 n - 1 维 subspace 他们会相交出一个 n - 2 维的 subspace，就好像三维空间中两个平面总是交于一条直线一样（刨去退化的情形）？），但这些知识基本都只涉及 rank，linear dedpence 这类常见的线性代数直观概念，可以看做低维线性空间的 trivial 推广，并没有 “吭哧吭哧计算得到 general 命题“ 的情形。你只要培养起这种直观，就可以一眼看出这个东西是怎么 generalize 到高维的。这个和那个计算矩阵体积公式再用外微分或者 Cauchy-Binet 公式去算的方式确实是不太相同的。而且也并没有试图通过隐藏某些更高深的定理/步骤或者跳过某些需要繁琐计算的命题来假装 “简化” 论证过程。

你这样个论证其实需要定义更多的概念，换来顶多是最后一步计算简化一点。反而借助更多的几何直观，相反代数方法十分强大，像机械化军团碾压一样，逢山开路，遇水搭桥

[lbs]

和我写的那个三维情形非常类似
原点出发的n个向量是
（a₀, 0, 0, 0, ...)
(0, a₁, 0,0,0, ...)
...
(0, 0, 0,0,0, a_n)


N个正交超平面的体积应该是1/(N-1) a₀a₁ ...a_n, 中间每次需要去掉一个

剩下的就是那个超斜面的N-1维度体积。

向量相减得到的结构是
x1 =（-a₀, a₁, ....)
x2 =（-a₀, 0, a₂, ....)
...
x(n-1) =（-a₀, 0, 0, ....a_n)

这个再用那个外微分乘起来 x1 ^ x2 ^ ... ^x(n-1), 每行只有两个非0，看上去应该是一样的，哈哈就这样了

我们不放来接着讨论讨论这个计算方法。这个过程当然是好的，计算也不麻烦。不过有一点我没有想明白。按理说这个过程是关于 a_i 对称的，但引出的 x_i 却相当于是把 a_1 对应的那个向量平移重置成了 O 点，再进行计算。这当然是可以的，但这似乎破坏了对称性（虽然最终算出来的式子是对称的）。是否应该有一种理解方式或者计算过程能直接给出对称的公式？

[FGH]

说说过程啊。虽然三维空间里三个点围成的面积有公式，但你给出的那些等式全都跳过了推导过程，是想让大家自行推导？

也可能是我眼拙，很显然的东西我没看出来。

不是说你写的是错的。总之，能加些细节就完美了。或者写在纸上，然后上传照片。

我略掉了三角形面积系数1/2。平方后系数变成1/4。
三个点0,a,b组成的三角形面积等于a b sin( a0b )/2。四倍面积平方等于
a^2b^2 sin( a0b )^2=a^2b^2- a^2b^2 cos( a0b )^2=(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)

[FoxMe]

对于一个数学问题，证明的方法有多种，有的用“初等”的方法，有的用“高等”的方法，其实并没有高低贵贱之分，百花齐放挺好。“高等”的方法往往看起来简洁，但是隐含了很多前提。

比如数论中著名的素数定理，一般得用解析数论证明，但是Selberg给出了一个“初等”证明（也很麻烦），获得了菲尔茨奖。

[YWY]

我略掉了三角形面积系数1/2。平方后系数变成1/4。
三个点0,a,b组成的三角形面积等于a b sin( a0b )/2。四倍面积平方等于
a^2b^2 sin( a0b )^2=a^2b^2- a^2b^2 cos( a0b )^2=(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)

谢，学习了。

[psgd]

是不是简单问题复杂化了？曲面的面积（比如球面的面积）就是这么计算的：

把一小块曲面近似成一个小平面，由两个向量 u =（dx1, dy1, dz1）和 v =（dx2, dx3, dz3）张起来，这一小块的面积便是 sqrt(det( transpose([u,v]) * [u,v] ))，也就是投影到xy, xz, yz的面积的平方和的平方根。

更一般的，曲线的长度和高维里的体积也是类似这么计算的。

[（ヅ）]

 你们这个数学知识储备和几何直观能力真是看的我佬捉鸡。逼俺这种老买买提人专门注册个账号来敲打你们。这东西还用吭哧吭哧的算吗？还 tm 外积/数学归纳法。我佬给你们跪下了。

这个东西很显然啊。高维的那个 canonical simplex ，即：
由 O 点，以及点 x_i = (0, 0, ..., a_i （第 i 个， a_i 为 scalar）, ..., 0) , i = 1, ..., n 组成的 "n + 1" 面体

这个玩意，它有 n 个所谓的 “正规面”，即外法向量是 e_i (第 i 个单位向量）的那些面。还有一个 “特殊面”，即法向量不是单位向量的那个面（看不懂的自已画一下二维和三维的情形认真看）。那个特殊面也有一个外法向量，不妨记为 p (一个向量）。至于这个 p 具体数值和形式是什么，并不重要。你只需要注意到这一点：这 n 个 “正规面” 沿着这个外法向 p 是可以被投影到这个 “特殊面” 上面的，且投影之后他们会恰好覆盖整个 “特殊面”（不明白的自己继续画二维和三维的图）。而第 i 个正规面的投影后的面积，恰好是投影前的面积乘以 p_i （这是因为两个外法向的內积，即 e_i 和 p 的內积就是 p_i）。

我们欲证明的 “勾股定理”，实际上就是想说 \sum_i p_i ^ 2 = 1, which is 显然的。

俺今天也想了想这问题，跟你的想法一样.三维空间的推导如下
viewtopic.php?t=91279
可以直接推广到高维空间