为什么三维空间的旋转是qvq^{-1}, 二维平面只需要rv?

[苍井吱]

RV也可以，就是3x3矩阵，这就是两种不同的表象，

对应复平面上v = (x, y)的旋转(a + bi)(x + yi)

3维旋转是(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk)(a + bi + cj + dk)^{-1}

有一个细节是，(a+ bi)里面并没有旋转轴的信息，只有旋转角度

[zeami]

你们的讨论大概是这个

比如说你要旋一个锥形弹簧，你简化成一个上下都带一个圆点标注的椎体，旋到你新的坐标系以后，再按原来的相对坐标关系去复原你的弹簧结构。。

[弃婴千枝]

复平面的旋转不是吧2x2矩阵运算[a -b;b a][x;y]切换到1维(a + bi)(x + iy)上吗

对，据说是数字相乘计算量要小于矩阵相乘

[苍井吱]

比如说你要旋一个锥形弹簧，你简化成一个上下都带一个圆点标注的椎体，旋到你新的坐标系以后，再按原来的相对坐标关系去复原你的弹簧结构。。

那必然是因为从椎体重新构造弹簧比旋转弹簧快

[zeami]

那必然是因为从椎体重新构造弹簧比旋转弹簧快

就是这个意思。我前面说就用rv算是不对的。从制造工具的角度，确实这样的死算rv软件没人买。。

[OPQ]

有二元数，有四元数，没有三元数。

Every rotation of H=R⁴ is of the form v -> q v p, where q and p are unit quaternions.

(四元数不满足交换律，p,q 只能放在 v 的左右两边。（二元情况可以化简。)

三维空间的旋转怎么办？没有三元数啊。

那就从四维限制下来。（从二维是升不上去的，或者说不方便。）

总之，every rotation of R³ is of the form v -> q v q^{-1}, where q is a unit quaternion.

四维的特殊形式。就这样。

不爱用四元数的话，其实直接用矩阵也无所谓。

也不一定非要用欧拉角。

[Caravel]

对应复平面上v = (x, y)的旋转(a + bi)(x + yi)

3维旋转是(a + bi + cj + dk)(xi + yj + zk)(a + bi + cj + dk)^{-1}

有一个细节是，(a+ bi)里面并没有旋转轴的信息，只有旋转角度

过一点的二维旋转轴只有一个啊

[苍井吱]

过一点的二维旋转轴只有一个啊

是这个道理，所以可以默认

[TheMatrix]

刚好看到知乎上一篇相关文章：

https://www.zhihu.com/question/37729543 ... 9482454314

[苍井吱]

昨晚想了一下特殊例子

i v (-i)

把v分成两个分量 v1 = a + bi(实际上a = 0), v2 = cj + dk

因为交换律i v1 (-i) = v1，在这两个坐标下没有效果

i v2和v2(-i)都是对v2即j, k两个坐标构成的平面做90°旋转

将这种旋转推广到一般的qv q^{-1}

先找到一个欧拉角的旋转矩阵T such that Tq = [1 0 0]^T

那么qvq^{-1}就是T^{-1} i v (-i) T，先转换一下视角把旋转轴看成x轴(i-axis)，转完再把视角改回来

[zeami]

昨晚想了一下特殊例子

i v (-i)

把v分成两个分量 v1 = a + bi(实际上a = 0), v2 = cj + dk

因为交换律i v1 (-i) = v1，在这两个坐标下没有效果

i v2和v2(-i)都是对v2即j, k两个坐标构成的平面做90°旋转

将这种旋转推广到一般的qv q^{-1}

先找到一个欧拉角的旋转矩阵T such that Tq = [1 0 0]^T

那么qvq^{-1}就是T^{-1} i v (-i) T，先转换一下视角把旋转轴看成x轴(i-axis)，转完再把视角改回来

要速度快的话，你先写（黑盒/调用function）正交三维坐标系xyz的转换算符。两个变量，原点位移和坐标系的旋转。z为负的映射先不考虑；二维只是你三维的特例。验证完这个黑盒，再考虑映射和其他特例不花多少时间。。然后有需要再泛化为非正交系统。。

[jkxf]

还有就是为什么平面上的点(a, b)是映射到a + bi

三维空间上的点(a, b, c)却是映射到0 + ai + bj + ck?

这个不是很容易理解吗
你只看表面 不懂本质

[苍井吱]

要速度快的话，你先写（黑盒/调用function）正交三维坐标系xyz的转换算符。两个变量，原点位移和坐标系的旋转。z为负的映射先不考虑；二维只是你三维的特例。验证完这个黑盒，再考虑映射和其他特例不花多少时间。。然后有需要再泛化为非正交系统。。

还没考虑优化的问题

想知道为什么形式不统一

用这个特殊例子知道了为什么。千吱老师说的是对的，跟电子1/2自旋一样，转两次，(左)乘\cos\theta i会把x坐标反转\theta,(右)乘-\cos\theta i再转回原位

[苍井吱]

这个不是很容易理解吗
你只看表面 不懂本质

我懂还问干嘛

[zeami]

还没考虑优化的问题

想知道为什么形式不统一

用这个特殊例子知道了为什么。千吱老师说的是对的，跟电子1/2自旋一样，转两次，(左)乘\cos\theta i会把x坐标反转\theta,(右)乘-\cos\theta i再转回原位

我体会不到你为毛纠结。你这样看，“信前人转坐标系理论”这是不至于出错的，这就够你写黑盒了。写完你自己举栗子验证黑盒的时候慢慢体会具体怎么转的不迟。。因为你需要好些经典几何结构来验证你的黑盒。。

[苍井吱]

我体会不到你为毛纠结。你这样看，“信前人转坐标系理论”这是不至于出错的，这就够你写黑盒了。写完你自己举栗子验证黑盒的时候慢慢体会具体怎么转的不迟。。因为你需要好些经典几何结构来验证你的黑盒。。

会当api用不知道细节的话，我过两天就忘了，从小就这样

还有4d, 5d的旋转，越来越诡异

[zeami]

会当api用不知道细节的话，我过两天就忘了，从小就这样

还有4d, 5d的旋转，越来越诡异

这是写完黑盒验证基础上的考虑。就是之后比如你不泛化非正交系统，而是泛化维度的体会。这需要在建立在你先建成一个基础模型（比如验证完成的3D模型）之上再考虑。。

[TheMatrix]

会当api用不知道细节的话，我过两天就忘了，从小就这样

还有4d, 5d的旋转，越来越诡异

我感觉你的困惑在于想知道人们是怎么发现quaternion可以用于计算三维旋转的。

quaternion用于计算三维的旋转这个用法，据说是1985年才开始的，而quaternion的发现是18xx年的事。可见有100年的时间里人们并不知道quaternion的这个用途。也就是说这不是一个容易“看”出来的想法。

但是“看”出来之后，它的验证并不难。就是通过和传统的旋转矩阵的结果比较来验证。而旋转矩阵是没有什么理解的困惑的。

[TheMatrix]

会当api用不知道细节的话，我过两天就忘了，从小就这样

还有4d, 5d的旋转，越来越诡异

哦对，你还有另一方面的困惑，就是为什么二维的旋转是rv - 两个复数的乘法，而三维的旋转是qvq^-1 - 三个数的乘法。

这个我觉得是数域的特殊性。二维数域（复数）和四维数域（quaternion）的特殊性。再往上就没有了，8维数域（应该）就没有这个性质了。再往上连数域都没有了。

所以你的困惑还是在于不知道它是怎么来的。你知道它怎么来的，就不会认为它们应该具有统一性了。我觉得。

[zeami]

哦对，你还有另一方面的困惑，就是为什么二维的旋转是rv - 两个复数的乘法，而三维的旋转是qvq^-1 - 三个数的乘法。

这个我觉得是数域的特殊性。二维数域（复数）和四维数域（quaternion）的特殊性。再往上就没有了，8维数域（应该）就没有这个性质了。再往上连数域都没有了。

所以你的困惑还是在于不知道它是怎么来的。你知道它怎么来的，就不会认为它们应该具有统一性了。我觉得。

牛叉。这个应该能解释纠结了哇。。