Galois cohomology

[TheMatrix]

这个我上次看椭圆曲线那本书的时候就没看懂。

我再回忆一下。

E(K)是一个椭圆曲线over K，直观上是一个椭圆曲线方程在K上的解。

nE(K)是n倍的解。因为椭圆曲线是一个群，abelian group，所以可以求n倍。

E(K)[n]是n-torsion points，也就是n倍等于0的点。

n阶Selmer群，从这里的定义看，是一个kernel，一个group homomorphism的kernel。

它的定义域是H¹(K,E[n])，这是个什么呢？这是个group cohomology吗？group在哪？你前面好像提过 Gal(K*/K)？

一直以来我有一个糊涂的点，就是cohomology Hⁿ(G,M)到底是个群还是个module。M作为系数到底是什么意思。

G是一个群，一般来讲是个非交换群，因为交换群的作用都是trivial的，cohomology也不需要研究。（这个我也没有验证，但是感觉应该没啥问题）。

M是个module，也就是有加法和数乘。加法是abelian group，数乘里有一个ring R，作为M的系数。任何一个abelian group都自带一个整数乘法，也就是都可以看成是Z-module。所以M永远也是一个Z-module。

cohomomogy Hⁿ(G,M)从它的定义过程看，首先做Z或者R的free Z[G]-resolution，P_n，也就是每一个P_n都是Z[G]-module，或者R[G]-module。然后再apply一个Hom(-,M)，也就是Hom(P_n,M)，the set of Z[G]-homomorphism from P_n to M。这应该还是一个Z[G]-module，因为任何两个R-module A,B，Hom(A,B)应该仍然是R-module。这应该是没问题的。所以每一个Hom(P_n,M)还是Z[G]-module。然后Hⁿ=kernel/image，也是一个Z[G]-module。

也就是cohomology Hⁿ(G,M)是一个Z[G]-module，或者R[G]-module。它不是一个群，well，群和module的区别是，module是一个abelian group，群一般指非abelian group。module和ring的区别是，module是多维的ring，可以有好几个生成元，也就是好几个方向，而ring是一维的module。

说cohomology group也行，但是要理解为它是一个module，也就是一个abelian group。对，需要强调cohomology都是abelian的。另外，从Hⁿ 作为一个Z[G]-module看，它上面也有一个G的作用。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

然后这里 H¹(K,E[n]) 就清楚了。它是 H¹(G,M)，G=Gal(K^*/K), M=E[n]。

Gal(K^*/K)是所有的K-algebraic number的域的自变换群。nonabeliean。

E[n]是E(K^*)中的n-torsion points，这是个有限群。而且是abelian group，因为整个E(K^*)就是abelian group。

E[n]上有一个Gal(K^*/K)作用，所以是一个Gal(K^*/K)-module，也是一个Z[G]-module with G=Gal(K^*/K)。但是好像不能说它是一个R[G]-module，R=K，好像没有这个东西。

[FoxMe]

对，Hⁿ (G,M)也是G-module，也就是矩阵，所以说cohomology最终还是线性代数

即使G是交换群，感觉并不平凡，比如前面的循环群（Kummer extension）。

一直以来我有一个糊涂的点，就是cohomology Hⁿ(G,M)到底是个群还是个module。M作为系数到底是什么意思。

G是一个群，一般来讲是个非交换群，因为交换群的作用都是trivial的，cohomology也不需要研究。（这个我也没有验证，但是感觉应该没啥问题）。

M是个module，也就是有加法和数乘。加法是abelian group，数乘里有一个ring R，作为M的系数。任何一个abelian group都自带一个整数乘法，也就是都可以看成是Z-module。所以M永远也是一个Z-module。

cohomomogy Hⁿ(G,M)从它的定义过程看，首先做Z或者R的free Z[G]-resolution，P_n，也就是每一个P_n都是Z[G]-module，或者R[G]-module。然后再apply一个Hom(-,M)，也就是Hom(P_n,M)，the set of Z[G]-homomorphism from P_n to M。这应该还是一个Z[G]-module，因为任何两个R-module A,B，Hom(A,B)应该仍然是R-module。这应该是没问题的。所以每一个Hom(P_n,M)还是Z[G]-module。然后Hⁿ=kernel/image，也是一个Z[G]-module。

也就是cohomology Hⁿ(G,M)是一个Z[G]-module，或者R[G]-module。它不是一个群，well，群和module的区别是，module是一个abelian group，群一般指非abelian group。module和ring的区别是，module是多维的ring，可以有好几个生成元，也就是好几个方向，而ring是一维的module。

说cohomology group也行，但是要理解为它是一个module，也就是一个abelian group。对，需要强调cohomology都是abelian的。另外，从Hⁿ 作为一个Z[G]-module看，它上面也有一个G的作用。

[FoxMe]

对，E[n]这个群只能做加法和G action，也就是G-module.

这样也解释了我的一个困惑：椭圆曲线是非线性的，为啥变成了线性代数？原来是E[n]，E(L) (L是K的扩域)等东东看作G-module. 只要G作用在另一个(交换)群上，那个群就成了G-module. 以前没有意识到group action的巨大威力。

类似的还有多项式环，咋一看是非线性的。但是如果看作module，就变成线性代数了。数域也是。

然后这里 H¹(K,E[n]) 就清楚了。它是 H¹(G,M)，G=Gal(K^*/K), M=E[n]。

Gal(K^*/K)是所有的K-algebraic number的域的自变换群。nonabeliean。

E[n]是E(K^*)中的n-torsion points，这是个有限群。而且是abelian group，因为整个E(K^*)就是abelian group。

E[n]上有一个Gal(K^*/K)作用，所以是一个Gal(K^*/K)-module，也是一个Z[G]-module with G=Gal(K^*/K)。但是好像不能说它是一个R[G]-module，R=K，好像没有这个东西。

[TheMatrix]

对，E[n]这个群只能做加法和G action，也就是G-module.

这样也解释了我的一个困惑：椭圆曲线是非线性的，为啥变成了线性代数？原来是E[n]，E(L) (L是K的扩域)等东东看作G-module. 只要G作用在另一个(交换)群上，那个群就成了G-module. 以前没有意识到group action的巨大威力。

类似的还有多项式环，咋一看是非线性的。但是如果看作module，就变成线性代数了。数域也是。

G-action或者G-module也可以从ring extension的角度来看。

比如E[n]是一个abelian group，那么它是一个Z-module，因为整数倍乘可直接定义。如果有一个G-action，那么就考虑Z[G]。Z ⊆ Z[G]可以看成是ring extension。这个符号记法和比如Z[x,y]是一样的。比如有一个finite set X，可以考虑Z[X]，也就是Z-algebra generated by X。这里是Z-algebra generated by G，Z[G]，所以记法是一样的。那么只要E[n]上有一个G-action，Z[G]作为数乘就有定义，也就是系数扩展了。

[TheMatrix]

然后这里 H¹(K,E[n]) 就清楚了。它是 H¹(G,M)，G=Gal(K^*/K), M=E[n]。

Gal(K^*/K)是所有的K-algebraic number的域的自变换群。nonabeliean。

E[n]是E(K^*)中的n-torsion points，这是个有限群。而且是abelian group，因为整个E(K^*)就是abelian group。

E[n]上有一个Gal(K^*/K)作用，所以是一个Gal(K^*/K)-module，也是一个Z[G]-module with G=Gal(K^*/K)。但是好像不能说它是一个R[G]-module，R=K，好像没有这个东西。

从ring extension的角度看，E[n]不仅是一个Z-module，它还是一个更大的ring Z[G]的module，G=Gal(K^*/K)。

然后考虑R=Z[G]，做resolution，apply functor Hom_R(-,M)，得到cohomology Hⁿ ，这都在module theory里了。

[TheMatrix]

从ring extension的角度看，E[n]不仅是一个Z-module，它还是一个更大的ring Z[G]的module，G=Gal(K^*/K)。

然后考虑R=Z[G]，做resolution，apply functor Hom_R(-,M)，得到cohomology Hⁿ ，这都在module theory里了。

我对projective module和projective resolution有了一点更清晰的了解了。

projective module基本上相当于free module。它是希望有free module的好处，但是如果不能完全成为free module的话，那么把free module的“好处”提取出来，作为性质，定义一个module，就是projective module。

free module有什么好处呢？就是它有生成元，生成元之间是互相无关的，这样的话定义它到另一个module的homomorphism，可以随便定义生成元的映射就行了。可以随便定义，所以叫free。而projective module，它可能做不到free，但是它也相当于有生成元，互相之间可以分块，块之间互相无关，所以它是块free。

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

接下来就到了 H¹(K_v,E)。

K_v是个什么呢？这都是我的痛点，一直没有理解好。

K_v相当于mod p。也就是一个椭圆曲线方程，mod p算一下，看看有几个解。肯定是有限个了。

可以mod p算一下，再mod q算一下，不同的素数都可以mod然后算一下。所以管不同的素数叫local information。而原方程就叫global information。不同的素数也叫不同的place，不同的地方算一下。

所有的“地方”都算一下，看看能不能组合成global information。这就是global-local principle。

mod p也相当于在K_p=Z/pZ上算。这是个有限域。也可以叫local field（吧）。

K_v就是K_p，好像是。为啥叫v呢？因为这里有一个东西叫valuation。是以p的几次方作为valuation的。

然后按照 K --> K^* ，域到域的closure的方法，K_p 也closure到 K_p^*。

这样就有了G_p=Gal(K_p^*/K_p)，也就有了cohomology Hⁿ(G_p, E[n])，H¹ 记为H¹(K_v,E[n])。

[TheMatrix]

你的d的定义与这里不同（这里的 ^ 感觉是去掉第j项的意思）：

你这个是对的。我又问chatgpt，它就改了。

我大概知道d为什么要这样凑出来了。是为了d和G-action commute，这个叫equivariant。这样d才是一个homomorphism of G-modules，或者叫G-homomorphism，也就是Z[G]-homomorphism。

比如 d: P_1 --> P_0，取一个P_1的生成元(g_0,g_1)，按照定义 d(g_0,g_1)=g_1-g_0。为什么要这么定义呢？因为要 dx=xd：
左边，d(x.(g_0,g_1)) = d(xg_0,xg_1) = xg_1-xg_0
右边，x.(d(g_0,g_1)) = x.(g_1-g_0)=xg_1-xg_0

所以d才能成为一个G-homomorphism，或者Z[G]-homomorphism.

[FoxMe]

projective module我一直没搞懂，只知道是free module的推广。它可以和另一个模的直和是free module，它就是这个free module的投影。

比如数域K中，维基百科上说a non-principal ideal （一维模）is always a projective module that is not a free module.但是没说一般的O_K module是不是projective?

还有Hereditary ring: a ring R is called hereditary if all submodules of projective modules over R are again projective. 也就是遗传了projective的性质。

我对projective module和projective resolution有了一点更清晰的了解了。

projective module基本上相当于free module。它是希望有free module的好处，但是如果不能完全成为free module的话，那么把free module的“好处”提取出来，作为性质，定义一个module，就是projective module。

free module有什么好处呢？就是它有生成元，生成元之间是互相无关的，这样的话定义它到另一个module的homomorphism，可以随便定义生成元的映射就行了。可以随便定义，所以叫free。而projective module，它可能做不到free，但是它也相当于有生成元，互相之间可以分块，块之间互相无关，所以它是块free。

[FoxMe]

差不多是这个意思。K_v是K_p的另一种写法，p可以是prime ideal. K是不完备的，K_p就是用p完备化。K_p是local field,但不是有限域。

要做mod p，并且做无穷次，叫inverse limit. 另外还有个direct limit，不太明白。

接下来就到了 H¹(K_v,E)。

K_v是个什么呢？这都是我的痛点，一直没有理解好。

K_v相当于mod p。也就是一个椭圆曲线方程，mod p算一下，看看有几个解。肯定是有限个了。

可以mod p算一下，再mod q算一下，不同的素数都可以mod然后算一下。所以管不同的素数叫local information。而原方程就叫global information。不同的素数也叫不同的place，不同的地方算一下。

所有的“地方”都算一下，看看能不能组合成global information。这就是global-local principle。

mod p也相当于在K_p=Z/pZ上算。这是个有限域。也可以叫local field（吧）。

K_v就是K_p，好像是。为啥叫v呢？因为这里有一个东西叫valuation。是以p的几次方作为valuation的。

然后按照 K --> K^* ，域到域的closure的方法，K_p 也closure到 K_p^*。

这样就有了G_p=Gal(K_p^*/K_p)，也就有了cohomology Hⁿ(G_p, E[n])，H¹ 记为H¹(K_v,E[n])。

[FoxMe]

这个方法似乎叫Koszul Complex。不清楚到底怎么来的。

https://en.wikipedia.org/wiki/Koszul_complex

你这个是对的。我又问chatgpt，它就改了。

我大概知道d为什么要这样凑出来了。是为了d和G-action commute，这个叫equivariant。这样d才是一个homomorphism of G-modules，或者叫G-homomorphism，也就是Z[G]-homomorphism。

比如 d: P_1 --> P_0，取一个P_1的生成元(g_0,g_1)，按照定义 d(g_0,g_1)=g_1-g_0。为什么要这么定义呢？因为要 dx=xd：
左边，d(x.(g_0,g_1)) = d(xg_0,xg_1) = xg_1-xg_0
右边，x.(d(g_0,g_1)) = x.(g_1-g_0)=xg_1-xg_0

所以d才能成为一个G-homomorphism，或者Z[G]-homomorphism.

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

继续看这个H¹(K, E[n])。

H¹ 是一个quotient，kernel(d¹)/image(d⁰)。里面的元素，用cohomomology的语言，叫一个class。我一直对这种object非常怵，因为它不是一个，而是一个equivalence class。实际上它离单个object就差一步，但是就这一步感觉非常抽象，每次想像都没有一个具体的形象。

现在希望突破一下。

H¹(K, E[n])理解为 H¹(G, M)，G=Gal(K^*/K), M=E[n]。

借助chatgpt，理解了kernel(d¹)和image(d⁰)，它们都是 f: P_1=Z[G²] --> M 这样的Z[G]-homomorphism。这些homomorphism又决定于一个函数 ϕ: G --> M。ϕ和f的关系是：ϕ(g)=f(1,g)。

所以这个问题就是问，满足kernel condition的这样的ϕ，能够分成多少个满足image condition的class。

kernel condition根据借助chatgpt的推算，是ϕ(gh)=ϕ(g)+gϕ(h).
image condtion 是 ϕ(g)=gm-m if exist m ∈ M。

也就是说
{ϕ:G --> M | ϕ(gh)=ϕ(g)+gϕ(h) for all g,h ∈ G}
里面能分出多少个
{ϕ:G --> M | ϕ(g)=gm-m if exist m ∈ M}

这就是first cohomology H¹ 。

这里有一点很奇怪，也不能说奇怪，很值得玩味。就是 G=Gal(K^*/K) --> M=E[n]。也就是把每一个Galois group的元素映射成一个n-torsion point。

[FoxMe]

φ(g1,...,gi) = f(1,g1,g1g2,...,g1 ···gi).φ就是一个homomorphism，这里{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}是Z[Gi]的一组基，所以只要考察f(1,g1,g1g2,...,g1 ···gi)就行了。

[三农]

早就注意到 你们几个对数学，而且是很高深的数学，有兴趣。我千年潜水，最近才开始发言，那就来凑个热闹吧。

其实即使是做数学的，只要不是数论，也一般不敢碰 class field theory，挺难的。

[三农]

Class field theory 是描述 数域 的 abelian extensions。经典的语言是 ideal classes，Galois cohomology 是后来的抽象语言来整理这个结果的。

Class field theory 起源于 Weber's 结果：Q （有理数）的所有abealian extension 都包含在 cyclotomic fields。

下面就想把这个结果推广到一般数域。

[FoxMe]

H¹ 到底啥意义？还是不明白。

“把每一个Galois group的元素映射成一个n-torsion point”：二者都是G module，所以可以做线性变换。但是究竟是啥意思？说不出来。

继续看这个H¹(K, E[n])。

H¹ 是一个quotient，kernel(d¹)/image(d⁰)。里面的元素，用cohomomology的语言，叫一个class。我一直对这种object非常怵，因为它不是一个，而是一个equivalence class。实际上它离单个object就差一步，但是就这一步感觉非常抽象，每次想像都没有一个具体的形象。

现在希望突破一下。

H¹(K, E[n])理解为 H¹(G, M)，G=Gal(K^*/K), M=E[n]。

借助chatgpt，理解了kernel(d¹)和image(d⁰)，它们都是 f: P_1=Z[G²] --> M 这样的Z[G]-homomorphism。这些homomorphism又决定于一个函数 ϕ: G --> M。ϕ和f的关系是：ϕ(g)=f(1,g)。

所以这个问题就是问，满足kernel condition的这样的ϕ，能够分成多少个满足image condition的class。

kernel condition根据借助chatgpt的推算，是ϕ(gh)=ϕ(g)+gϕ(h).
image condtion 是 ϕ(g)=gm-m if exist m ∈ M。

也就是说
{ϕ:G --> M | ϕ(gh)=ϕ(g)+gϕ(h) for all g,h ∈ G}
里面能分出多少个
{ϕ:G --> M | ϕ(g)=gm-m if exist m ∈ M}

这就是first cohomology H¹ 。

这里有一点很奇怪，也不能说奇怪，很值得玩味。就是 G=Gal(K^*/K) --> M=E[n]。也就是把每一个Galois group的元素映射成一个n-torsion point。

[TheMatrix]

φ(g1,...,gi) = f(1,g1,g1g2,...,g1 ···gi).φ就是一个homomorphism，这里{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}是Z[Gi]的一组基，所以只要考察f(1,g1,g1g2,...,g1 ···gi)就行了。

哦。这么来的啊。我前面看到{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}是Z[Gi]的一组基，但是没有验证。

我看到的是 P_1=Z[G²]，所以 f: P_1 --> M的形式是f(x,g)。然后说fix x=1，就有了f(1,g)，定义为φ(g)。

可以fix x=1是因为这是一个G-module之间的homorphism，x可以当作一个系数提出来。

P_1作为G-module的一组基是什么？看一下。

P_1=Z[G x G]作为Z-module的基是 { (g,h): g,h ∈ G }，数量是 |G|² 。

作为 Z[G]-module的话，G元素可以作为系数提出来，所以fix其中一个等于1，所以基就是 { (1,g): g ∈ G}，数量为 |G|。

再看P_2 = Z[G x G x G]。作为Z-module的基是 { (f,g,h): f,g,h ∈ G }，数量是 |G|^3。

作为 Z[G]-module的话，还是G元素可以提出来，所以还是可以fix其中一个。所以基就是 { (1,g,h): g,h ∈ G}，数量为 |G|² 。

{1,g1,g1g2,...,g1 ···gi}又是怎么出来的呢？

[TheMatrix]

H¹ 到底啥意义？还是不明白。

“把每一个Galois group的元素映射成一个n-torsion point”：二者都是G module，所以可以做线性变换。但是究竟是啥意思？说不出来。

Galois group 不是 G-module。Gal(K*/K) --> E[n] 只是一个 set theoretic map.

[TheMatrix]

早就注意到 你们几个对数学，而且是很高深的数学，有兴趣。我千年潜水，最近才开始发言，那就来凑个热闹吧。

其实即使是做数学的，只要不是数论，也一般不敢碰 class field theory，挺难的。

我是业余爱好。东一榔头西一棒子，比较没有系统性。