automorphic form

[TheMatrix]

这个是对的。还是先看例子，最经典的是： K=Q(sqrt{-5}), O_K = Z[sqrt{-5}] 不是PID。

2.3 = （1+sqrt（-5））（1-sqrt（-5））

Prime ideal：

（2）= （2，1+sqrt(-5))² 是ramified
（3）= （3， 1+sqrt（-5））。（3， 1-sqrt（-5））=p_1。p_2 split

Quadratic number field 中rational prime 的分解是完全理解的。这个例子里，2 跟 5 是ramified。其他的prime 是split 或inertia 依赖于

是否 -5 是quadratic residue modulo p.

第一个inertia prime 应该是11，那它就给出一个Frobenius element。这应该是所谓的 Artin map, 由base number ring中的prime 给出Galois group 的元素。（这个例子中，Galois group = Z/2。）

如果extension 是abelian 的，你所说的 conjugacy class 就又变成一个元素。这也应该是为什么 class field theory 只能考虑abelian extension。

algebraic number theory 我还需要补补课。

你是说 Gal(K/Q) = Z/2 ？

第一个inertia prime 是11，对应 Gal(K/Q) 中的 Frobenius element，也是 Z/2的生成元，也就是除了0之外的那个元素？

[三农]

Bingo, 完全正确！

当然所有的inertial 的prime 处的Frobenius 都会给出 这个生成元。

algebraic number theory 我还需要补补课。

你是说 Gal(K/Q) = Z/2 ？

第一个inertia prime 是11，对应 Gal(K/Q) 中的 Frobenius element，也是 Z/2的生成元，也就是除了0之外的那个元素？

[TheMatrix]

algebraic number theory 我还需要补补课。

你是说 Gal(K/Q) = Z/2 ？

第一个inertia prime 是11，对应 Gal(K/Q) 中的 Frobenius element，也是 Z/2的生成元，也就是除了0之外的那个元素？

对。K=Q(sqrt{-5})是 Q 的degree 2 extension。所以Gal(K/Q) = Z/2.

inertia prime 11 也就是 11 在 O_K 中生成的ideal也是prime ideal。也就是 O_K/(11) 是一个field，一个finite field，但是它的个数不能是11，只能是11² 个。这个2必须是 K:Q的degree。

嗯。学习一下。

但是deepseek告诉我，3也是inert。其他的还有13，17，19.

每一个inert都对应Gal(K/Q)中的 Frobenius element吗？也就是它们都对应同一个元素吗？

[三农]

3 不是inertial 的，上面我已经给出了 3 的分解。那两个是prime non-principal ideal。

13， 17， 19 都是inertial 的，因为 -5 mod p 不是平方（quadratic residue）。当然这个可以用quadratic reciprocity 算。二次互反律是所有代数数论研究的根源所在。

所以，假定 p is inertial. 应该是有一个map: Gal(O_K/(p) / Z/(p)) -> Gal(K/Q). 在这个例子里，两个group 都是Z/2，就像你说的.

Frobenius at p 是左边的非零元素，会映到右边的非零元素。

（当然，这就引出local class field theory, 是class field theory 的简化。可以考虑completion, 然后先考虑 abelian extensions of local fields.）

对。K=Q(sqrt{-5})是 Q 的degree 2 extension。所以Gal(K/Q) = Z/2.

inertia prime 11 也就是 11 在 O_K 中生成的ideal也是prime ideal。也就是 O_K/(11) 是一个field，一个finite field，但是它的个数不能是11，只能是11² 个。这个2必须是 K:Q的degree。

嗯。学习一下。

但是deepseek告诉我，3也是inert。其他的还有13，17，19.

每一个inert都对应Gal(K/Q)中的 Frobenius element吗？也就是它们都对应同一个元素吗？

[TheMatrix]

3 不是inertial 的，上面我已经给出了 3 的分解。那两个是prime non-principal ideal。

13， 17， 19 都是inertial 的，因为 -5 mod p 不是平方（quadratic residue）。当然这个可以用quadratic reciprocity 算。二次互反律是所有代数数论研究的根源所在。

所以，假定 p is inertial. 应该是有一个map: Gal(K/(p) / Q/(p)) -> Gal(K/Q). 在这个例子里，两个group 都是Z/2，就像你说的.

Frobenius at p 是左边的非零元素，会映到右边的非零元素。

（当然，这就引出local class field theory, 是class field theory 的简化。可以考虑completion, 然后先考虑 abelian extensions of local fields.）

嗯。看起来很合理。这个叫Artin map？

[三农]

应该是。

这里这些map 可以写的更直接一些。

F = O_K/（11） = { a + b sqrt(-5) | a, b \in Z/11 }

所以它有 11² 个元素。

Frob：F -> F; x\mapsto x¹¹.

(a+b sqrt(-5))¹¹ = a¹¹ + b¹¹ sqrt(-5)¹¹ = a + b sqrt(-5) (-5)⁵ = a - b sqrt(-5) mod 11.

因为 (-5)⁵=-3,125 = -1 mod 11, a¹¹ = a, b¹¹ = b mod 11.

这就对应于 Gal(K/Q) 中的非零元素， conjugation； a + b sqrt(-5) -> a - b sqrt(-5).

嗯。看起来很合理。这个叫Artin map？

[TheMatrix]

应该是。

这里这些map 可以写的更直接一些。

F = O_K/（11） = { a + b sqrt(-5) | a, b \in Z/11 }

所以它有 11² 个元素。

Frob：F -> F; x\mapsto x¹¹.

(a+b sqrt(-5))¹¹ = a¹¹ + b¹¹ sqrt(-5)¹¹ = a + b sqrt(-5) (-5)⁵ = a - b sqrt(-5) mod 11.

因为 (-5)⁵=-3,125 = -1 mod 11, a¹¹ = a, b¹¹ = b mod 11.

这就对应于 Gal(K/Q) 中的非零元素， conjugation； a + b sqrt(-5) -> a - b sqrt(-5).

嗯。不错。其他几个inertial prime 13，17，19，这样做也能得到conjugation？

[三农]

那是肯定的。

嗯。不错。其他几个inertial prime 13，17，19，这样做也能得到conjugation？