automorphic form

[TheMatrix]

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[TheMatrix]

automorphic form是周期函数的扩展。它的特点是定义域是分块的，块之间的函数值是有联系的。也就是一块的函数值决定了其它所有块的函数值。

块定义域之间可以变换，也就是块集合的automorphism group。这就出现群了。这个群和lattice的节点变换群应该是一样的。都是discrete group。

另一方面，Galois group是域的自变换群。域的自变换不是集合的自变换，不能乱变，要和域的加法乘法关系合拍。等价于要fix域所包含的最小的域，也就是有理数域Q。所以Galois group也是一个discrete group。

[TheMatrix]

接下来要怎么推进呢？

[苍井吱]

怎么听起来像modular form

[TheMatrix]

怎么听起来像modular form

对。automorphic form是modular form的推广。

[三农]

automorphic form是周期函数的扩展。它的特点是定义域是分块的，块之间的函数值是有联系的。也就是一块的函数值决定了其它所有块的函数值。

块定义域之间可以变换，也就是块集合的automorphism group。这就出现群了。这个群和lattice的节点变换群应该是一样的。都是discrete group。

另一方面，Galois group是域的自变换群。域的自变换不是集合的自变换，不能乱变，要和域的加法乘法关系合拍。等价于要fix域所包含的最小的域，也就是有理数域Q。所以Galois group也是一个discrete group。

你这个确实只是 modular forms. 你提到的这两个discrete groups 应该关系不大。对模形式，这个群是 arithmetic group，

Gamma（N）\subset Gamma_1(N) \subset Gamma(N) \subset SL_2(Z).

这个和Galois group 差的很远，当然它们怎么联系，我现在也不懂。

[TheMatrix]

你这个确实只是 modular forms. 你提到的这两个discrete groups 应该关系不大。对模形式，这个群是 arithmetic group，

Gamma（N）\subset Gamma_1(N) \subset Gamma(N) \subset SL_2(Z).

这个和Galois group 差的很远，当然它们怎么联系，我现在也不懂。

除了modular form，我确实没有其他automorphic form的例子。

Γ 叫 arithmetic group？我记得叫modular group。

modular group就是lattice的自变换群，也就是Z² 的自变换群。Z² 作为Z-module的linear automorphism group。

[TheMatrix]

你这个确实只是 modular forms. 你提到的这两个discrete groups 应该关系不大。对模形式，这个群是 arithmetic group，

Gamma（N）\subset Gamma_1(N) \subset Gamma(N) \subset SL_2(Z).

这个和Galois group 差的很远，当然它们怎么联系，我现在也不懂。

Γ 和 Galois group的关系，我理解就是 Langlands program 的一个重要方面。

[三农]

除了modular form，我确实没有其他automorphic form的例子。

Γ 叫 arithmetic group？我记得叫modular group。

modular group就是lattice的自变换群，也就是Z² 的自变换群。Z² 作为Z-module的linear automorphism group。

对，Modular group 就是PSL_2（Z）= SL_2(Z)/\pm 1。 Arithmetic group 就是说一些代数群在 Z 上的点。这里是

SL_2(Z) \subset SL_2(R) \supset SO(2).

每个代数群 G 有个 maximal compact subgroup K，和一个arithmetic subgroup Gamma。那么 double quotient

Gamma \ G / K

应该就是modular curve 的推广，上面的 differential forms 对应于 modular forms。

不过好像somewhere，需要adele 的语言。

[FoxMe]

典型的例子有Hilbert modular form, Siegel modular form，都是在多维的推广。

给定一个格，带单变量z的theta series是modular form。如果把z改成矩阵，就得到Siegel theta series, 它是一个Siegel modular form。

https://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_theta_series

Hilbert modular form是modular form在数域上的推广，SL_2(Z)改成SL_2(O_F)。

除了modular form，我确实没有其他automorphic form的例子。

Γ 叫 arithmetic group？我记得叫modular group。

modular group就是lattice的自变换群，也就是Z² 的自变换群。Z² 作为Z-module的linear automorphism group。

[三农]

这样可能就对上了。automorphic form 是modular form 的两重推广：

一是把SL_Z 换成一般的代数群

二是把Q 和 Z 换成一般的数域 K 和 O_K。

这样compact subgroup 应该和 adele 有关

典型的例子有Hilbert modular form, Siegel modular form，都是在多维的推广。

给定一个格，带单变量z的theta series是modular form。如果把z改成矩阵，就得到Siegel theta series, 它是一个Siegel modular form。

https://en.wikipedia.org/wiki/Siegel_theta_series

Hilbert modular form是modular form在数域上的推广，SL_2(Z)改成SL_2(O_F)。

[TheMatrix]

这和Langlands program，Langlands correspondence有关。这个东西到底是指什么我也不清楚。但是我对数学中的各种correspondence有所感觉。

最简单的比如傅里叶变换，f(x) <----> f_n，把一个函数变成一个数列。函数这边是连续的，和分析，拓扑有关。数列这边是离散的，和代数，数论有关（可以这么说不？）。这就有了一个correspondence。

automorphic form，或者modular form，是定义在复平面，或者曲面上的复函数。这就和分析和拓扑有关。

另一边，应该是代数方程。比如椭圆曲线方程。定义在数域上的。这就和Galois group，Galois representation有关。

这两边应该会发生联系。怎么联系的，是很曲折的联系，还是很自然的联系，这个就不清楚。

[TheMatrix]

这和Langlands program，Langlands correspondence有关。这个东西到底是指什么我也不清楚。但是我对数学中的各种correspondence有所感觉。

最简单的比如傅里叶变换，f(x) <----> f_n，把一个函数变成一个数列。函数这边是连续的，和分析，拓扑有关。数列这边是离散的，和代数，数论有关（可以这么说不？）。这就有了一个correspondence。

automorphic form，或者modular form，是定义在复平面，或者曲面上的复函数。这就和分析和拓扑有关。

另一边，应该是代数方程。比如椭圆曲线方程。定义在数域上的。这就和Galois group，Galois representation有关。

这两边应该会发生联系。怎么联系的，是很曲折的联系，还是很自然的联系，这个就不清楚。

代数方程这边，得到的东西叫variety，也就是解的集合。在域的closure之下，有Galois group respresentation。

代数方程，就是在一个数域下，一些量加法和乘法得到的关系，比如

x² y + 2 x y z + 5 z = 0

也就是

x x y + 2 x y z + 5 z = 0

2和5是一个域中的数，x, y, z 也是该域中的数，只不过是未知数。

而Galois group是域变换，也就是每一个元素g，既尊重加法，也尊重乘法：

g(x+y) = g(x) + g(y)
g(xy) = g(x)g(y)

那么g作用在整个代数方程上，就把它完全进入并分解了：

g(x)g(x)g(y) + g(2) g(x)g(y)g(z) + g(5) g(z) = g(0) = 0

所以
x ---> x'=g(x)
y ---> y'=g(y)
z ---> z'=g(z)

g(2)=2,g(5)=5,g(0)=0.

这个变换，就把方程的一个解变成了另一个还是解。也就是解空间的一个自变换。

所以Galois群在variety上有一个自然的群作用。

这还不能说是一个Galois representation，但是应该也不远了。

[TheMatrix]

这和Langlands program，Langlands correspondence有关。这个东西到底是指什么我也不清楚。但是我对数学中的各种correspondence有所感觉。

最简单的比如傅里叶变换，f(x) <----> f_n，把一个函数变成一个数列。函数这边是连续的，和分析，拓扑有关。数列这边是离散的，和代数，数论有关（可以这么说不？）。这就有了一个correspondence。

automorphic form，或者modular form，是定义在复平面，或者曲面上的复函数。这就和分析和拓扑有关。

另一边，应该是代数方程。比如椭圆曲线方程。定义在数域上的。这就和Galois group，Galois representation有关。

这两边应该会发生联系。怎么联系的，是很曲折的联系，还是很自然的联系，这个就不清楚。

所谓联系，可以是两边各自搭建一个结构，然后发现两个结构是同构的。据说这个东西叫 L 函数。

但是可能也不仅仅是L函数。因为并不一定两边每种情况都能搭建出 L 函数，另外，也可以搭建别的。

另外，两边即使搭建出共同的东西，步骤太曲折，也不能算很强的联系。

[TheMatrix]

代数方程这边，得到的东西叫variety，也就是解的集合。在域的closure之下，有Galois group respresentation。

代数方程，就是在一个数域下，一些量加法和乘法得到的关系，比如

x² y + 2 x y z + 5 z = 0

也就是

x x y + 2 x y z + 5 z = 0

2和5是一个域中的数，x, y, z 也是该域中的数，只不过是未知数。

而Galois group是域变换，也就是每一个元素g，既尊重加法，也尊重乘法：

g(x+y) = g(x) + g(y)
g(xy) = g(x)g(y)

那么g作用在整个代数方程上，就把它完全进入并分解了：

g(x)g(x)g(y) + g(2) g(x)g(y)g(z) + g(5) g(z) = g(0) = 0

所以
x ---> x'=g(x)
y ---> y'=g(y)
z ---> z'=g(z)

g(2)=2,g(5)=5,g(0)=0.

这个变换，就把方程的一个解变成了另一个还是解。也就是解空间的一个自变换。

所以Galois群在variety上有一个自然的群作用。

这还不能说是一个Galois representation，但是应该也不远了。

Deepseek的讲解还是不错的：

[TheMatrix]

deepseek的八股文写得相当不错：