等差的三个平方数、地球ETO组织、三体人

[TheMatrix]

这个表达式是比较简单。可以写成，设这个差为K，那么
K = 4u³v - 4uv³

或者写回x,y变量，再把4去掉：
K = x³y-xy³
=xy(x+y)(x-y)

K是一个整数，但是可以调整。求x,y的整数解，而且要3个。

看一下图。对于一个“任意”的K：

[TheMatrix]

这个表达式是比较简单。可以写成，设这个差为K，那么
K = 4u³v - 4uv³

或者写回x,y变量，再把4去掉：
K = x³y-xy³
=xy(x+y)(x-y)

K是一个整数，但是可以调整。求x,y的整数解，而且要3个。

用Python搜了一下，u和v搜到100以内的。3组(u,v)满足
K = 4u³v - 4uv³
的很多。其中还有4组的。

kde23找出的三元组是一类，还有其他类。

以下是 (k,[(u,v)...])结果：

(3360, [(7, 3), (7, 5), (8, 7)])
(13440, [(10, 4), (12, 2), (15, 1)])
(43680, [(13, 7), (13, 8), (15, 13)])
(53760, [(14, 6), (14, 10), (16, 14)])
(127680, [(19, 5), (19, 16), (21, 19)])
(174720, [(20, 6), (21, 5), (28, 2)])
(215040, [(20, 8), (24, 4), (30, 2)])
(272160, [(21, 9), (21, 15), (24, 21)])
(510720, [(24, 14), (35, 3), (40, 2)])
(698880, [(26, 14), (26, 16), (30, 26)])
(860160, [(28, 12), (28, 20), (32, 28)])
(1088640, [(30, 12), (36, 6), (45, 3)])
(1145760, [(31, 11), (31, 24), (35, 31)])
(2100000, [(35, 15), (35, 25), (40, 35)])
(1367520, [(37, 7), (37, 33), (40, 37), (56, 55)])
(2042880, [(38, 10), (38, 32), (42, 38)])
(3538080, [(39, 21), (39, 24), (45, 39)])
(2795520, [(40, 12), (42, 10), (56, 4)])
(3440640, [(40, 16), (48, 8), (60, 4)])
(4354560, [(42, 18), (42, 30), (48, 42)])
(4583040, [(42, 20), (55, 7), (66, 4)])
(3756480, [(43, 13), (43, 35), (48, 43)])
(5470080, [(44, 30), (70, 4), (77, 3)])
(8171520, [(48, 28), (70, 6), (80, 4)])
(6726720, [(49, 16), (49, 39), (55, 49)])
(8067360, [(49, 21), (49, 35), (56, 49)])
(8400000, [(50, 20), (60, 10), (75, 5)])
(8168160, [(51, 40), (55, 13), (88, 3)])
(11182080, [(52, 28), (52, 32), (60, 52)])
(13762560, [(56, 24), (56, 40), (64, 56)])
(15025920, [(56, 30), (78, 8), (91, 5)])
(10342080, [(57, 15), (57, 48), (63, 57)])
(14152320, [(60, 18), (63, 15), (84, 6)])
(17418240, [(60, 24), (72, 12), (90, 6)])
(7993440, [(61, 9), (61, 56), (65, 61)])
(18332160, [(62, 22), (62, 48), (70, 62)])
(22044960, [(63, 27), (63, 45), (72, 63)])
(27300000, [(65, 35), (65, 40), (75, 65)])
(29715840, [(67, 32), (67, 45), (77, 67)])
(32672640, [(68, 42), (91, 11), (91, 85), (96, 91)])
(33600000, [(70, 30), (70, 50), (80, 70)])
(25018560, [(73, 17), (73, 63), (80, 73)])
(21880320, [(74, 14), (74, 66), (80, 74)])
(32686080, [(76, 20), (76, 64), (84, 76)])
(49193760, [(77, 33), (77, 55), (88, 77)])
(56609280, [(78, 42), (78, 48), (90, 78)])
(58662240, [(79, 40), (79, 51), (91, 79)])
(69672960, [(84, 36), (84, 60), (96, 84)])
(60103680, [(86, 26), (86, 70), (96, 86)])
(54774720, [(91, 19), (91, 80), (99, 91)])

[kde23]

To TheMatrix 回答一下你的问题，关于如何得到如下结论:
令f(u,v)=4u^3v-4uv^3, 设m为任意整数
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1
则 f(p,q) = f(p,r) = f(q+r, p)

实际上，我是先用和你类似的的Python程序得到上面列表，然后注意到其中这些行：
(7,3), (7,5), (8,7)
(13,7), (13,8), (15,13)
(21,9), (21, 15), (24,21)
它们都有个共同点： 前两项的首数以及第三项的尾数一样（例如7）， 前两项的尾数和等于第三项首数（3+5=8)
因此我猜测
(1)有无数个整数p,q,r满足
f(p, q) = f(p, r)
(2)如上式成立，则又有 f(q+r,p) = f(p,q)

先证明（2):
f(p,q) = 4pq(p^2-q^2), f(p,r)=4pr(p^2-r^2)
f(q+r,p) = 4(q+r)p((q+r)^2 - p^2)
故(2)即为: 若 q(p^2-q^2) = r(p^2-r^2)
则 (q+r)((q+r)^2 - p^2) = q(p^2-q^2)

q(p^2-q^2) = r(p^2-r^2)
=> (q-r)p^2 = q^3 - r^3
=> p^2 = q^2 + qr + r^2
因此 (q+r)((q+r)^2 - p^2) = (q+r)((q+r)^2 - q^2-qr-r^2)
= (q+r)qr = q(qr+r^2)
= q(qr+r^2+p^2-q^2-qr-r^2)
= q(p^2-q^2)

再来试求满足(1)的整数解. 由前面的分析已知，(1)等价为如下方程：
p^2 = q^2 + qr + r^2
可用有理点方法求解： 上式即
(q/p)^2 + (q/p)(r/p) + (r/p)^2 = 1
问题等价为求如下方程的有理数解(x=q/p, y=r/p)：
x^2 + xy + y^2 = 1
注意点(0,-1)是方程的一个解。考虑过此点斜率为m的直线,m为任意有理数:
y = mx - 1
此直线与二次曲线x^2+xy+y^2-1=0有两个交点（其中一个就是(0,1)），交点的x坐标满足
x^2 + (mx-1)x + (mx-1)^2 = 1
注意此二次方程的系数都是有理数，而且其已有一个解x=0, 故由韦达定理另一个解也是有理数， 即另一个交点也是有理点
另一方面，若p点是曲线上任一有理点，那它与（0，1)连线的斜率也是有理数。 因此，问题等价为求如下方程组的解(m为任意一有理数)：
x^2 + xy + y^2 = 1
y = mx - 1
因此
x^2 + (mx-1)x + (mx-1)^2 = 1
(m^2+m+1)x^2 + (-1-2m)x + 1 = 1
x = (2m+1)/(m^2+m+1)
y = mx-1 = (2m^2+m-m^2-m-1)/(m^2+m+1) = (m^2-1)/(m^2+m+1)
因此 q/p = (2m+1)/(m^2+m+1)
r/p = (m^2-1)/(m^2+m+1)
简单取m为整数, 则有p,q,r的整数解
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1

注： 正如你发现的，还有很多满足题意的解不属于(1）（2）的parttern(例如(10, 4), (12, 2), (15, 1)). 如何求出所有解是困难得多的问题。 但(1)(2)已足够证明存在无数个满足题意的解。

[TheMatrix]

To TheMatrix 回答一下你的问题，关于如何得到如下结论:
令f(u,v)=4u^3v-4uv^3, 设m为任意整数
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1
则 f(p,q) = f(p,r) = f(q+r, p)

实际上，我是先用和你类似的的Python程序得到上面列表，然后注意到其中这些行：
(7,3), (7,5), (8,7)
(13,7), (13,8), (15,13)
(21,9), (21, 15), (24,21)
它们都有个共同点： 前两项的首数以及第三项的尾数一样（例如7）， 前两项的尾数和等于第三项首数（3+5=8)
因此我猜测
(1)有无数个整数p,q,r满足
f(p, q) = f(p, r)
(2)如上式成立，则又有 f(q+r,p) = f(p,q)

先证明（2):
f(p,q) = 4pq(p^2-q^2), f(p,r)=4pr(p^2-r^2)
f(q+r,p) = 4(q+r)p((q+r)^2 - p^2)
故(2)即为: 若 q(p^2-q^2) = r(p^2-r^2)
则 (q+r)((q+r)^2 - p^2) = q(p^2-q^2)

q(p^2-q^2) = r(p^2-r^2)
=> (q-r)p^2 = q^3 - r^3
=> p^2 = q^2 + qr + r^2
因此 (q+r)((q+r)^2 - p^2) = (q+r)((q+r)^2 - q^2-qr-r^2)
= (q+r)qr = q(qr+r^2)
= q(qr+r^2+p^2-q^2-qr-r^2)
= q(p^2-q^2)

再来试求满足(1)的整数解. 由前面的分析已知，(1)等价为如下方程：
p^2 = q^2 + qr + r^2
可用有理点方法求解： 上式即
(q/p)^2 + (q/p)(r/p) + (r/p)^2 = 1
问题等价为求如下方程的有理数解(x=q/p, y=r/p)：
x^2 + xy + y^2 = 1
注意点(0,-1)是方程的一个解。考虑过此点斜率为m的直线,m为任意有理数:
y = mx - 1
此直线与二次曲线x^2+xy+y^2-1=0有两个交点（其中一个就是(0,1)），交点的x坐标满足
x^2 + (mx-1)x + (mx-1)^2 = 1
注意此二次方程的系数都是有理数，而且其已有一个解x=0, 故由韦达定理另一个解也是有理数， 即另一个交点也是有理点
另一方面，若p点是曲线上任一有理点，那它与（0，1)连线的斜率也是有理数。 因此，问题等价为求如下方程组的解(m为任意一有理数)：
x^2 + xy + y^2 = 1
y = mx - 1
因此
x^2 + (mx-1)x + (mx-1)^2 = 1
(m^2+m+1)x^2 + (-1-2m)x + 1 = 1
x = (2m+1)/(m^2+m+1)
y = mx-1 = (2m^2+m-m^2-m-1)/(m^2+m+1) = (m^2-1)/(m^2+m+1)
因此 q/p = (2m+1)/(m^2+m+1)
r/p = (m^2-1)/(m^2+m+1)
简单取m为整数, 则有p,q,r的整数解
p = m^2+m+1
q = 2m+1
r = m^2-1

注： 正如你发现的，还有很多满足题意的解不属于(1）（2）的parttern(例如(10, 4), (12, 2), (15, 1)). 如何求出所有解是困难得多的问题。 但(1)(2)已足够证明存在无数个满足题意的解。

谢谢。

非常漂亮的综合技能。编程，证明，分类探索。