Galois group representation

[TheMatrix]

p-function是一种canonical构造，也就是没有什么这样的p-function，那样的p-function，只有唯一的一种构造方式。只决定于lattice τ。也可以写成 τ ---> p_τ。p_τ是一个z的函数 p_τ(z)。

而有了p_τ就有p'_τ，导函数，复导数函数。这都是唯一的：τ ---> p_τ ---> p'_τ。所以 τ ---> (p_τ,p'_τ)也是唯一的。

而(p_τ,p'_τ)决定一个集合：{(p_τ(z),p'_τ(z)): z ∈ C/Λ}，这是一个C²的子集。而它正是一个elliptic curve的零点集合：y²=4x³-g₂x-g₃。

我们说的elliptic curve有两重含义，一个是指这个零点集合，一个是指这个三次方程。

以零点集合为准。因为两个不同的三次方程可以有相同的零点集合，而这两个方程被认为是同一个elliptic curve。这两个方程之间，一定有有理变换，在三次方程的情况下，应该是fractional linear transformation，也就是(x',y')=(ax+by+c/dx+ey+f,gx+hy+i/jx+ky+l)的方程换元。这个变换对应零点集合的内部自变换，也叫有理变换。这也是为什么代数几何研究有理变换 - 因为以零点集合为准。

另一方面lattice这边，以零点集合为准的话，同样的，并不是所有的τ都给出不同的零点集合。两个τ如果可以通过SL(2,Z)相互变换得到的话，那么它们给出相同的零点集合。这正好对应方程那边的有理变换的换元法。。。应该。

也就是说并不是所有上半平面H上的τ，都决定不同的elliptic curve（零点集合）。而是不同的τ的SL(2,Z)等价类决定不同的elliptic curve。所以就出现一个 H/SL(2,Z) 的概念。这个东西就是 moduli space，也就是parameter space，the space that parametrize elliptic curves。在elliptic curve的情况下，moduli space 本身也是一个curve - C中的一个曲面就叫一个curve，因为它是复一维的 - 这个叫modular curve。

现在有好多东西了：
一个lattice，
一个modular group SL(2,Z)，
一个modular form，
一个elliptic function，比如Weierstrass p-function，又叫doubly periodic function，
一个elliptic curve，
一个moduli space - modular curve，
都是相互关联的。

[TheMatrix]

现在有好多东西了：
一个lattice，
一个modular group SL(2,Z)，
一个modular form，
一个elliptic function，比如Weierstrass p-function，又叫doubly periodic function，
一个elliptic curve，
一个moduli space - modular curve，
都是相互关联的。

我查了一下modular和moduli这个词。它们都是从modulus这个词演化来的。

modulus是拉丁语，意思是measure。所以引申为模具，模板，模长。

复数（complex number）的长度就叫modulus。

以modulus为长度来度量，相当于10进制里的10，多了之后余数再绕回来。所以同余里的模长也叫modulus。

从这个意思引出模块化，也就是modular，还有代数中的module。这个引申好像走得比较远。

moduli是modulus的复数（plural）。有parametrize，control的意思，而且是plural，因为有很多，是一个空间。

[TheMatrix]

现在有好多东西了：
一个lattice，
一个modular group SL(2,Z)，
一个modular form，
一个elliptic function，比如Weierstrass p-function，又叫doubly periodic function，
一个elliptic curve，
一个moduli space - modular curve，
都是相互关联的。

这些都有空间的：
the space of lattice - parametrized by τ ∈ H，or τ ∈ H/SL(2,Z)，看你要up to 什么 isomorphism。
the space of modular form - 这是一个vector space，这个要研究。
the space of elliptic function - 两个不同的lattice得到的elliptic function能不能相加？
the space of elliptic curve - parametrized by modular curve。

[TheMatrix]

现在有好多东西了：
一个lattice，
一个modular group SL(2,Z)，
一个modular form，
一个elliptic function，比如Weierstrass p-function，又叫doubly periodic function，
一个elliptic curve，
一个moduli space - modular curve，
都是相互关联的。

modular form是lattice的函数，τ ---> m(τ)。modular group作用在上面等于乘以(cz+d)^k。

elliptic function是τ和z的函数，p(z;τ)。modular group不能作用在z上，只能作用在τ上。结果不变。

elliptic curve不是函数，它是一个点集 - 零点集合。但是它等于 C/Λ，也就是quotient by the lattice。

lattice代表的是有限，离散。而quotient by lattice代表的是compact。而compact又是geometry的building block。所以lattice也是一个到处出现的元素。

[TheMatrix]

这些都有空间的：
the space of lattice - parametrized by τ ∈ H，or τ ∈ H/SL(2,Z)，看你要up to 什么 isomorphism。
the space of modular form - 这是一个vector space，这个要研究。
the space of elliptic function - 两个不同的lattice得到的elliptic function能不能相加？
the space of elliptic curve - parametrized by modular curve。

现在要研究modular form了。

modular form 是lattice的函数，lattice由 τ ∈ H 代表，H是复平面上半平面。modular group SL(2,Z)作用在modular form上。

γ ∈ SL(2,Z), m(γz)=m(az+b/cz+d)=(cz+d)^k m(z)

γ=[1 1; 0 1], γz=z+1，也就是 z --> z+1，平移操作。那么有m(z+1)=m(z)，所以m(z)是periodic function，singly periodic with period 1。

所以m(z)就有傅里叶展开。

m(z) = a₀+a₁q+a₂q²+...
q = e^{2π i z}

也就是 m ---> (a₀,a₁,a₂,...)

这些a_n有什么特点？就是研究这个问题。

[TheMatrix]

γ ∈ SL(2,Z), m(γz)=m(az+b/cz+d)=(cz+d)^k m(z)

γ=[1 1; 0 1], γz=z+1，也就是 z --> z+1，平移操作。那么有m(z+1)=m(z)，所以m(z)是periodic function，singly periodic with period 1。

平移操作能够通过一个SL(2,Z)得到，这个也是玄妙的。因为平移操作不是一个线性变换。

这个过程是先把被操作的数加一维，然后在高一维的空间中做线性变换，也就是用SL(2,Z)做变换，变换之后再降一维。也就是在projective space中操作。

所以平移虽然不是线性变换，但它可以是projective linear transformation。

[TheMatrix]

现在要研究modular form了。

modular form 是lattice的函数，lattice由 τ ∈ H 代表，H是复平面上半平面。modular group SL(2,Z)作用在modular form上。

γ ∈ SL(2,Z), m(γz)=m(az+b/cz+d)=(cz+d)^k m(z)

γ=[1 1; 0 1], γz=z+1，也就是 z --> z+1，平移操作。那么有m(z+1)=m(z)，所以m(z)是periodic function，singly periodic with period 1。

所以m(z)就有傅里叶展开。

m(z) = a₀+a₁q+a₂q²+...
q = e^{2π i z}

也就是 m ---> (a₀,a₁,a₂,...)

这些a_n有什么特点？就是研究这个问题。

Hecke operator 来了：

[TheMatrix]

Hecke operator 来了：

感觉ChatGPT写的还更好一点：

viewtopic.php?p=4076005#p4076005

[FoxMe]

Hecke operator我也没搞懂

Hecke operator 来了：

[TheMatrix]

感觉ChatGPT写的还更好一点：

viewtopic.php?p=4076005#p4076005

看起来要先搞清楚cusp。

modular form的domain是H，复平面上半平面。它的boundary被认为是实数轴和 {∞}。这是从projective space的角度看。projective space的视角是复平面引入无穷远点的一个好的视角。projective space又是从齐次方程来的。所以这都是有来历的，不是乱来的。

从projective space看C，要从加一维，也就是C²来看。C²上定义等价类(z,w)∼(z',w') if z/w=z'/w'。也就是每一个(z,w)都可以归一化的表示为(τ=z/w,1)。特例是w=0，这时所有的(z,0)都等价于(1,0)。

那么projective C，记为CP¹，定义为C²/∼。

每一个复数τ，都有一个CP¹中的对应(τ,1)。所以C可以embed到CP¹。CP¹除了C，还剩下唯一一个元素(1,0)，这个就代表∞。所以CP¹=C ∪ {∞}。

而H ⊆ C，所以H ⊆ CP¹，所以H在CP¹里就有boundary，是实数轴和 {∞}。

[TheMatrix]

看起来要先搞清楚cusp。

modular form的domain是H，复平面上半平面。它的boundary被认为是实数轴和 {∞}。这是从projective space的角度看。projective space的视角是复平面引入无穷远点的一个好的视角。projective space又是从齐次方程来的。所以这都是有来历的，不是乱来的。

从projective space看C，要从加一维，也就是C²来看。C²上定义等价类(z,w)∼(z',w') if z/w=z'/w'。也就是每一个(z,w)都可以归一化的表示为(τ=z/w,1)。特例是w=0，这时所有的(z,0)都等价于(1,0)。

那么projective C，记为CP¹，定义为C²/∼。

每一个复数τ，都有一个CP¹中的对应(τ,1)。所以C可以embed到CP¹。CP¹除了C，还剩下唯一一个元素(1,0)，这个就代表∞。所以CP¹=C ∪ {∞}。

而H ⊆ C，所以H ⊆ CP¹，所以H在CP¹里就有boundary，是实数轴和 {∞}。

C²上的SL(2,Z)，到了CP¹上，再到embedded C上，就induce出fraction linear transformation：z ---> (az+b)/(cz+d)。

而 H ⊆ C，所以fractional linear transformation也定义在H上。而且因为SL(2,Z) determinant为1，fractional linear transformation的结果仍在H中。所以SL(2,Z)作用在H上 - group action。

[TheMatrix]

看起来要先搞清楚cusp。

modular form的domain是H，复平面上半平面。它的boundary被认为是实数轴和 {∞}。这是从projective space的角度看。projective space的视角是复平面引入无穷远点的一个好的视角。projective space又是从齐次方程来的。所以这都是有来历的，不是乱来的。

从projective space看C，要从加一维，也就是C²来看。C²上定义等价类(z,w)∼(z',w') if z/w=z'/w'。也就是每一个(z,w)都可以归一化的表示为(τ=z/w,1)。特例是w=0，这时所有的(z,0)都等价于(1,0)。

那么projective C，记为CP¹，定义为C²/∼。

每一个复数τ，都有一个CP¹中的对应(τ,1)。所以C可以embed到CP¹。CP¹除了C，还剩下唯一一个元素(1,0)，这个就代表∞。所以CP¹=C ∪ {∞}。

而H ⊆ C，所以H ⊆ CP¹，所以H在CP¹里就有boundary，是实数轴和 {∞}。

CP¹就是Riemann sphere。CP¹=C ∪ {∞}。黎曼球等于C加上无穷远点。

在黎曼球上，实数轴是一个大圆，而无穷远点是这个大圆上的一个点，可以说是顶点，也可以说只是一个普通点。也就是无穷远点和实数是联通的，一起构成一个大圆。大圆的一边是H，复平面上半平面，另一边是复平面下半平面。

[TheMatrix]

CP¹就是Riemann sphere。CP¹=C ∪ {∞}。黎曼球等于C加上无穷远点。

在黎曼球上，实数轴是一个大圆，而无穷远点是这个大圆上的一个点，可以说是顶点，也可以说只是一个普通点。也就是无穷远点和实数是联通的，一起构成一个大圆。大圆的一边是H，复平面上半平面，另一边是复平面下半平面。

一个modular form的cusp，是其定义域H的boundary上的特殊点。在黎曼球上看，实数轴和{∞}一起构成一个大圆，大圆的一边是H，另一边是复平面下半平面。H的boundary就是这个大圆，也就是实数轴和{∞}。

一个modular form本来是定义不到H的boundary上的。比如Eisenstein series E₄(τ) = Σ 1/(m+nτ)⁴。它在上半平面和下半平面都能定义，而且都holomorphic，也就是都解析，但是在实数轴上有问题。比如τ=π，这个函数定义不了。τ=p/q，也就是有理数的时候，也定义不了，因为m+nτ可以等于0。但是有理数和无理数的情况还不同。

modular form在无穷远点本来也是无定义的，但是growth condition保证了如果在黎曼球中看这个函数，它在无穷远点是有极限的，也就是可以定义无穷远点的函数值，使这个函数连续延申到无穷远点。但是它是否holomorphic就不好说了，因为无穷远点没有一个holomorphic的开集。

无穷远点在CP¹中的表示是(1,0)，也就是第二个坐标为0。SL(2,Z)作用在这个点上，可以得到任意整数(p,q)，归一化之后就是任意有理数(r=p/q,1)。也就是大圆上的无穷远点，可以在SL(2,Z)的作用下得到任意实数轴上的有理数点。函数可以连续延申的无穷远点，那么就可以连续延申到任意实数轴上的有理数点。

而它们延申不到实数轴上的无理数点。

所以一个modular form的cusp就定义为无穷远点加上实数轴上的有理数点。也就是modular form可以延申到的那些点。

[TheMatrix]

一个modular form的cusp，是其定义域H的boundary上的特殊点。在黎曼球上看，实数轴和{∞}一起构成一个大圆，大圆的一边是H，另一边是复平面下半平面。H的boundary就是这个大圆，也就是实数轴和{∞}。

一个modular form本来是定义不到H的boundary上的。比如Eisenstein series E₄(τ) = Σ 1/(m+nτ)⁴。它在上半平面和下半平面都能定义，而且都holomorphic，也就是都解析，但是在实数轴上有问题。比如τ=π，这个函数定义不了。τ=p/q，也就是有理数的时候，也定义不了，因为m+nτ可以等于0。但是有理数和无理数的情况还不同。

modular form在无穷远点本来也是无定义的，但是growth condition保证了如果在黎曼球中看这个函数，它在无穷远点是有极限的，也就是可以定义无穷远点的函数值，使这个函数连续延申到无穷远点。但是它是否holomorphic就不好说了，因为无穷远点没有一个holomorphic的开集。

无穷远点在CP¹中的表示是(1,0)，也就是第二个坐标为0。SL(2,Z)作用在这个点上，可以得到任意整数(p,q)，归一化之后就是任意有理数(r=p/q,1)。也就是大圆上的无穷远点，可以在SL(2,Z)的作用下得到任意实数轴上的有理数点。函数可以连续延申的无穷远点，那么就可以连续延申到任意实数轴上的有理数点。

而它们延申不到实数轴上的无理数点。

所以一个modular form的cusp就定义为无穷远点加上实数轴上的有理数点。也就是modular form可以延申到的那些点。

A cusp form is a modular form that vanishes at all cusps.

实际上在无穷远点等于0就足够了，因为无穷远点可以通过SL(2,Z)的作用变到任意有理数点，也就是全部的cusp，然后通过modular form的modular性质，得到函数在全部cusp点都等于0。

有这样的modular form吗？E₄³-E₆²就是。

首先，全部modular form的空间是一个线性空间，C-linear。每一个weight k的空间仍是一个线性空间，也就是两个weight k的modular form加加减减还是weight k modular form。这是很容易看出来的。然后，一个weight m的modular form和一个weight n的modular form相乘，会得到一个weight (m+n)的modular form。这个也不难看出来。

所以全部modular form的空间变成了一个graded algebra，可以加，可以乘，还有weight作为grading。

所以E₄³-E₆²是一个weight 12的modular form。加加减减是为了使这个modular form在无穷远点等于0。这里有E₄(∞)=E₆(∞)=1。这个我也没证出来。

[TheMatrix]

首先，全部modular form的空间是一个线性空间，C-linear。每一个weight k的空间仍是一个线性空间，也就是两个weight k的modular form加加减减还是weight k modular form。这是很容易看出来的。然后，一个weight m的modular form和一个weight n的modular form相乘，会得到一个weight (m+n)的modular form。这个也不难看出来。

所以全部modular form的空间变成了一个graded algebra，可以加，可以乘，还有weight作为grading。

这个不对。因为不同weight的两个modular form相加就不再是一个modular form了。所以全部modular form的空间不是一个线性空间。只有每一个weight k的空间才是线性空间。那么全部modular form的空间也不是一个graded algebra。

但是前面E₄³-E₆²的讨论仍然是对的。

两个不同weight的modular form相加，以扩展modular form的空间，应该也可以研究。

[TheMatrix]

这个不对。因为不同weight的两个modular form相加就不再是一个modular form了。所以全部modular form的空间不是一个线性空间。只有每一个weight k的空间才是线性空间。那么全部modular form的空间也不是一个graded algebra。

但是前面E₄³-E₆²的讨论仍然是对的。

两个不同weight的modular form相加，以扩展modular form的空间，应该也可以研究。

但是weight-0 modular form的空间是一个algebra。

[TheMatrix]

这个不对。因为不同weight的两个modular form相加就不再是一个modular form了。所以全部modular form的空间不是一个线性空间。只有每一个weight k的空间才是线性空间。那么全部modular form的空间也不是一个graded algebra。

但是前面E₄³-E₆²的讨论仍然是对的。

两个不同weight的modular form相加，以扩展modular form的空间，应该也可以研究。

也就是modular form这个空间，不能加，只能乘。

cusp form这个子空间，也是不能加，只能乘。

这是啥空间啊？好像没有长成。

[TheMatrix]

A cusp form is a modular form that vanishes at all cusps.

实际上在无穷远点等于0就足够了，因为无穷远点可以通过SL(2,Z)的作用变到任意有理数点，也就是全部的cusp，然后通过modular form的modular性质，得到函数在全部cusp点都等于0。

有这样的modular form吗？E₄³-E₆²就是。

首先，全部modular form的空间是一个线性空间，C-linear。每一个weight k的空间仍是一个线性空间，也就是两个weight k的modular form加加减减还是weight k modular form。这是很容易看出来的。然后，一个weight m的modular form和一个weight n的modular form相乘，会得到一个weight (m+n)的modular form。这个也不难看出来。

所以全部modular form的空间变成了一个graded algebra，可以加，可以乘，还有weight作为grading。

所以E₄³-E₆²是一个weight 12的modular form。加加减减是为了使这个modular form在无穷远点等于0。这里有E₄(∞)=E₆(∞)=1。这个我也没证出来。

modular form和cusp form还可以做domain transformation来看。

z ---> e^{2π i z} 这个函数把 H 变为单位圆内，又叫unit disk，D。如果z为实数的话，e^{2π i z}在单位圆上。但是H不包括实数轴，所以H会变到单位圆内，不包括圆周。而且这不是一一映射，e^{2π i z}是周期函数，所以这个变换是很多层的cover。从实数轴的变换看，它是一圈一圈的在单位圆周上绕。

所以实数轴上的cusp，在这个变换下，会变成单位圆周上的点。

而无穷远点∞，在这个变换下，应该是变成圆心。因为如果z=x+iy，取x=0，y --> ∞ 的话，e^{2π i z}越来越小，趋近于0。

但是从黎曼球或者CP¹来看，无穷远点和实数轴应该是联通的，但是这里分别变换成圆心和圆周，是不联通的。这是为什么呢？

[FoxMe]

这个cusp form的定义非常麻烦。一般定义为傅立叶级数的首项为0的modular form，和无穷远点等于0应该是等同的。

但是为啥叫cusp（尖尖）？

[FoxMe]

应该是z ---> e2π i z 这个函数的问题

modular form和cusp form还可以做domain transformation来看。

z ---> e^{2π i z} 这个函数把 H 变为单位圆内，又叫unit disk，D。如果z为实数的话，e^{2π i z}在单位圆上。但是H不包括实数轴，所以H会变到单位圆内，不包括圆周。而且这不是一一映射，e^{2π i z}是周期函数，所以这个变换是很多层的cover。从实数轴的变换看，它是一圈一圈的在单位圆周上绕。

所以实数轴上的cusp，在这个变换下，会变成单位圆周上的点。

而无穷远点∞，在这个变换下，应该是变成圆心。因为如果z=x+iy，取x=0，y --> ∞ 的话，e^{2π i z}越来越小，趋近于0。

但是从黎曼球或者CP¹来看，无穷远点和实数轴应该是联通的，但是这里分别变换成圆心和圆周，是不联通的。这是为什么呢？