Galois cohomology

[FoxMe]

还有Tor, Ext, 不知道是干啥的：

Group homology is defined by H _* (G,M) = Tor ^Z[G] _* (Z ,M)
Group cohomology is defined by H* (G,M)= Ext_Z[G]*(Z ,M)

[FoxMe]

Galois module把很多不同的东东都统一起来了，这就是数学里的大一统理论啊：

[FoxMe]

The Brauer group of a field is a measure of the complexity of the field.
It also plays a central role in duality theorems, and in class field theory.

Theorem 19.9. The group Bk of equivalence classes of central simple k-algebras is isomorphic to the Brauer group Br(k).

Brauer group of a field K

Br(K) = H² (K, (K^sep)^*) 理解为

Br(K) = H² ( Gal(K^sep / K), (K^sep)^*)

这是infinite extension，留待以后再看

[TheMatrix]

还有Tor, Ext, 不知道是干啥的：

Group homology is defined by H _* (G,M) = Tor ^Z[G] _* (Z ,M)
Group cohomology is defined by H* (G,M)= Ext_Z[G]*(Z ,M)

我知道它们是从right derived functor 和 left derived functor 来的。不知道它们除了助记还有什么具体的用法。

[TheMatrix]

Galois module把很多不同的东东都统一起来了，这就是数学里的大一统理论啊：

这好像只是说 G = Gal(L/K) 这个Galois group可以作用在下面那些module上，Z-module，也就是abelian group上。

1. Z and Q/Z
2. (L,+)
3. (L*,*)
4. GL_n(L) and SL_n(L)
5. O_L*
6. E(L)
   ...

G能作用在它们上，它们就是 G-module，也即是G的representation。除了这个含义应该没有其他的了。

[FoxMe]

先给几个简单的例子：

Proposition 19.2. The Brauer group of the field R of real numbers has order 2.

是否意味着R上的扩域只有R和C？

Proposition 19.4. If k is a finite field, then Brk = 0.

是否意味着有限域上的扩域是唯一的？（给定阶数）

Theorem 19.6. Let k be a local field with perfect residue field (e.g., a finite extension of Qp). Then Brk ∼= Q/Z.

这个就有点难度了，Q/Z这个群很大（无穷大）。

The Brauer group of a field is a measure of the complexity of the field.
It also plays a central role in duality theorems, and in class field theory.

Theorem 19.9. The group Bk of equivalence classes of central simple k-algebras is isomorphic to the Brauer group Br(k).

[TheMatrix]

resolution就是一个chain of homomorphism，要求exact，也就是前面的image在后面的kernel之中：Im(d_i+1) ⊆ Ker(d_i)，也就是d_id_i+1=0，助记为dd=0，或者d²=0.

resolution这个概念是怎么想到的我也不知道，我觉得有点玄妙。因为resolution不是唯一的，far from unique，看起来比较任意。

resolution可以看成是一个节点一个节点延申出来的，比如第一个节点，也就是端点Z是固定的，发展出前面的一个节点P₀，要求第一个homomorphism，d₀: P₀ --> Z，是满射，也就是P₀ --> Z --> 0。这样的P₀有很多个，因为d₀是可以设计的。你只要设计出一个满射就行了。

有了P₀和d₀，可以再往前发展P₁和d₁，仍然具有很大的任意性：只要满足d₀d₁=0就行了。

然后就这样往前发展上去，(P₂,d₂), (P₃,d₃),...，每一步都具有任意性，只要满足dd=0就行了。

但是，据说，有一个东西不具有任意性，就是
H¹ = Ker(d₀)/Im(d₁)
H² = Ker(d₁)/Im(d₂)
H³ = Ker(d₂)/Im(d₃)
……

也就是不管你怎么具有任意性的往前发展，其比值不变。这个不变的比值，“显然”，和G有关系。因为什么都可以变，什么都是任意的，P_i的发展具有任意性。（端点Z任意性少一点，最开始定下来的）。只有G，是最开始定下来的，每一步都参与，（对，往前发展P_i的时候，要求每一步P_i都是free G-module）。所以这个比值一定和G有关系。反应了G的性质。

这个比值，就叫G的cohomology.

哦这个是错的。

resolution是long exact sequence。exact不仅仅要求dd=0，也就是不仅仅要求Im(d_i+1) ⊆ Ker(d_i)，而是要求Im(d_i+1) = Ker(d_i)。

从resolution到cohomology还少了一步。要apply Hom_{Z[G]}(-,M) functor。然后才有dd=0，才可以做：
H¹ = Ker(d₀)/Im(d₁)
H² = Ker(d₁)/Im(d₂)
H³ = Ker(d₂)/Im(d₃)

[FoxMe]

把不相干的东东（数域，李群，椭圆曲线，abelian variety, scheme...）全部变成线性代数啦

有些东西本来是非线性的，也能用线性代数，我感到很神奇。

这好像只是说 G = Gal(L/K) 这个Galois group可以作用在下面那些module上，Z-module，也就是abelian group上。

1. Z and Q/Z
2. (L,+)
3. (L*,*)
4. GL_n(L) and SL_n(L)
5. O_L*
6. E(L)
   ...

G能作用在它们上，它们就是 G-module，也即是G的representation。除了这个含义应该没有其他的了。

[TheMatrix]

哦这个是错的。

resolution是long exact sequence。exact不仅仅要求dd=0，也就是不仅仅要求Im(d_i+1) ⊆ Ker(d_i)，而是要求Im(d_i+1) = Ker(d_i)。

从resolution到cohomology还少了一步。要apply Hom_{Z[G]}(-,M) functor。然后才有dd=0，才可以做：
H¹ = Ker(d₀)/Im(d₁)
H² = Ker(d₁)/Im(d₂)
H³ = Ker(d₂)/Im(d₃)

我再捋一遍大步骤。中间有一些不确定的。

第0步：

首先有一个group G，和一个G-module M，也可以说是一个G的representation。

这个M是一个R-module，也就是一个module系数为ring R。如果R=Z的话，一个Z-module就是一个abelian group。

一个G-module就是一个R[G]-module。R=Z的话，就是一个Z[G]-module。

所以现在已经有三个东西了：G, M, R。

group cohomology从名字上看，目标应该是研究group G的性质。但是应该也可以说是研究G的representation on M。不然它最开始就有一个M干什么？不能说它研究R。因为R只是作为一个系数。

怎么开始呢？从Z开始。应该也可以说从R开始。就从Z开始吧。

Z可以说是最小的ring，任何一个R-module都是一个Z-module。所以从Z开始是肯定可以的。应该也可以从R开始。

第1步：

首先做projective resolution of Z：
... --> P_3 --> P_2 --> P_1 --> P_0 --> Z --> 0

这里有要求：

1，Z可以看成一个 G-module，也就是Z[G]-module，也就是G作用在单元素集合（只能等于自己），再用Z把这个单元素扩展成一个module，一维的module。这里看来，用R也行。

2，每个P_i都要求是 G-module，也就是Z[G]-module。

3，exact。也就是每一步的 kernel等于前面一步的image。这是resolution的要求。

4，每个P_i都是projective module，也可以是free module，因为free module都是projective module。

所以似乎只说projective resolution还不够，因为这只说了条件3和4。应该说projective G-resolution，这就加上了条件1和2。

这个project G-resolution不是唯一的，但是再往后走，走到cohomology的时候就变成唯一的。这里面的细节现在还不清楚。

第2步：

这时候把M拉进来了。Hom_{Z[G]}(-,M)，简写成 Hom(-,M)，也就是
x = {Z --> M}
C_0 = Hom(P_0,M) = {P_0 --> M}
C_1 = Hom(P_1,M) = {P_1 --> M}
C_2 = Hom(P_2,M) = {P_2 --> M}
C_3 = Hom(P_3,M) = {P_3 --> M}
...

每一个C_i是一个homomorphism集合。每个homomorphism是一个Z-homomorphism，而且是一个G-homomorphism。也就是一个和群作用合拍的homomorphism。这里看来，Z换成R也是可以的。

这里出现了一个反向的箭头：

... <-- C_3 <-- C_2 <-- C_1 <-- C_0

这是一个长链，但是它不是一个resolution，因为它不exact，也就是每一步kernel不等于前一步的image。但是有 dd=0，也就是 image ⊆ kernel。这叫chain complex.

第3步：

cohomology. 这一步不是在第一步的resolution上做，而是在第二步的chain complex上做：

H⁰ = kernel(d_1)/image(d_0)
H¹ = kernel(d_2)/image(d_1)
H² = kernel(d_3)/image(d_2)
H³ = kernel(d_4)/image(d_3)
...

这一步是唯一的。也就是resolution那步不管怎么取，apply Hom(-,M)之后变成chain complex，再取cohomology，就变成唯一的了。这一步细节也不清楚。

[FoxMe]

G作用在M上，既可以说是研究G， 也可以说是研究M。

为啥变成唯一的？我也在琢磨，看到过一个解释，还没有细看。

我再捋一遍大步骤。中间有一些不确定的。

第0步：

首先有一个group G，和一个G-module M，也可以说是一个G的representation。

这个M是一个R-module，也就是一个module系数为ring R。如果R=Z的话，一个Z-module就是一个abelian group。

一个G-module就是一个R[G]-module。R=Z的话，就是一个Z[G]-module。

所以现在已经有三个东西了：G, M, R。

group cohomology从名字上看，目标应该是研究group G的性质。但是应该也可以说是研究G的representation on M。不然它最开始就有一个M干什么？不能说它研究R。因为R只是作为一个系数。

怎么开始呢？从Z开始。应该也可以说从R开始。就从Z开始吧。

Z可以说是最小的ring，任何一个R-module都是一个Z-module。所以从Z开始是肯定可以的。应该也可以从R开始。

第1步：

首先做projective resolution of Z：
... --> P_3 --> P_2 --> P_1 --> P_0 --> Z --> 0

这里有要求：

1，Z可以看成一个 G-module，也就是Z[G]-module，也就是G作用在单元素集合（只能等于自己），再用Z把这个单元素扩展成一个module，一维的module。这里看来，用R也行。

2，每个P_i都要求是 G-module，也就是Z[G]-module。

3，exact。也就是每一步的 kernel等于前面一步的image。这是resolution的要求。

4，每个P_i都是projective module，也可以是free module，因为free module都是projective module。

所以似乎只说projective resolution还不够，因为这只说了条件3和4。应该说projective G-resolution，这就加上了条件1和2。

这个project G-resolution不是唯一的，但是再往后走，走到cohomology的时候就变成唯一的。这里面的细节现在还不清楚。

第2步：

这时候把M拉进来了。Hom_{Z[G]}(-,M)，简写成 Hom(-,M)，也就是
x = {Z --> M}
C_0 = Hom(P_0,M) = {P_0 --> M}
C_1 = Hom(P_1,M) = {P_1 --> M}
C_2 = Hom(P_2,M) = {P_2 --> M}
C_3 = Hom(P_3,M) = {P_3 --> M}
...

每一个C_i是一个homomorphism集合。每个homomorphism是一个Z-homomorphism，而且是一个G-homomorphism。也就是一个和群作用合拍的homomorphism。这里看来，Z换成R也是可以的。

这里出现了一个反向的箭头：

... <-- C_3 <-- C_2 <-- C_1 <-- C_0

这是一个长链，但是它不是一个resolution，因为它不exact，也就是每一步kernel不等于前一步的image。但是有 dd=0，也就是 image ⊆ kernel。这叫chain complex.

第3步：

cohomology. 这一步不是在第一步的resolution上做，而是在第二步的chain complex上做：

H⁰ = kernel(d_1)/image(d_0)
H¹ = kernel(d_2)/image(d_1)
H² = kernel(d_3)/image(d_2)
H³ = kernel(d_4)/image(d_3)
...

这一步是唯一的。也就是resolution那步不管怎么取，apply Hom(-,M)之后变成chain complex，再取cohomology，就变成唯一的了。这一步细节也不清楚。

[TheMatrix]

[TheMatrix]

这个叫bar resolution。有名字。

但是不明白为什么要这样做，感觉很任意。

要以homological algebra的方式研究一个群，一定要搞出层级。一级，二级，三级，这样的。群怎么搞出层级来？
G
G²
G³
G⁴
....

这倒不是不可理解，虽然感觉已经有点硬搞的意思了。

homological algebra每一级都得是module，所以把它们扩展成module，变成
Z[G], Z[G²], Z[G³], ...
可以理解。

然后层级之间要有homomorphism，它叫differential，就是这个bar resolution。又有点不可理解了。

[TheMatrix]

要以homological algebra的方式研究一个群，一定要搞出层级。一级，二级，三级，这样的。群怎么搞出层级来？
G
G²
G³
G⁴
....

这倒不是不可理解，虽然感觉已经有点硬搞的意思了。

所谓层级，不就是[n]吗？

[n] = {1,2,3,...,n}

也就是一个东西和[n]发生关系了，就有了层级。

{[n] --> G}，the set of functions from [n] to G，这就是G^n。

当然，应该还有其他方式和[n]发生关系。

推广一下，还可以和其他东西发生关系，产生更大的物体。研究更大的物体的某种方式。产生的方法固定，研究的方式固定，就相当于研究原来的小的物体。嗯。这就是functor的概念。

比如常见的还有用[0,1]，也就是0到1的线段，这个工具来研究。考虑 {[0,1] --> X}，研究这个集合以反过来研究X，这就是homotopy。

[TheMatrix]

所谓层级，不就是[n]吗？

[n] = {1,2,3,...,n}

也就是一个东西和[n]发生关系了，就有了层级。

{[n] --> G}，the set of functions from [n] to G，这就是G^n。

当然，应该还有其他方式和[n]发生关系。

推广一下，还可以和其他东西发生关系，产生更大的物体。研究更大的物体的某种方式。产生的方法固定，研究的方式固定，就相当于研究原来的小的物体。嗯。这就是functor的概念。

比如常见的还有用[0,1]，也就是0到1的线段，这个工具来研究。考虑 {[0,1] --> X}，研究这个集合以反过来研究X，这就是homotopy。

更大的物体有更多的抓手，有更多的运动方式。这就是为什么要通过研究更大的物体反过来研究原来要研究的物体。

{[0,1] --> X} 是X中的路径，这个研究的是X的fundamental group。

[0,1] * X，这个好像是研究X的连续变换，和homotopy有点关系。

[FoxMe]

这个Standard Complex，可能是有人凑出来的。

这个叫bar resolution。有名字。

但是不明白为什么要这样做，感觉很任意。

要以homological algebra的方式研究一个群，一定要搞出层级。一级，二级，三级，这样的。群怎么搞出层级来？
G
G²
G³
G⁴
....

这倒不是不可理解，虽然感觉已经有点硬搞的意思了。

homological algebra每一级都得是module，所以把它们扩展成module，变成
Z[G], Z[G²], Z[G³], ...
可以理解。

然后层级之间要有homomorphism，它叫differential，就是这个bar resolution。又有点不可理解了。

[FoxMe]

你的d的定义与这里不同（这里的 ^ 感觉是去掉第j项的意思）：

[FoxMe]

如果G是循环群，情况特殊，只要研究H1和H2。非常重要的应用是Kummer extension，但感觉是事后诸葛亮，因为Kummer那时还没有同调。

[FoxMe]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

[TheMatrix]

你的d的定义与这里不同（这里的 ^ 感觉是去掉第j项的意思）：

你这里去掉第j项的定义好像更简单。

问了一下chatgpt：
P_i=Z[G^{i+1}]
作为Z-module，rank是|G|^{n+1}
作为Z[G]-module，rank是 |G|ⁿ.

[TheMatrix]

到了椭圆曲线，Selmer group, 山群出现了。原先不知所云，现在知道是咋回事了，需要上同调来定义，但是还没懂。

这个我上次看椭圆曲线那本书的时候就没看懂。

我再回忆一下。

E(K)是一个椭圆曲线over K，直观上是一个椭圆曲线方程在K上的解。

nE(K)是n倍的解。因为椭圆曲线是一个群，abelian group，所以可以求n倍。

E(K)[n]是n-torsion points，也就是n倍等于0的点。

n阶Selmer群，从这里的定义看，是一个kernel，一个group homomorphism的kernel。

它的定义域是H¹(K,E[n])，这是个什么呢？这是个group cohomology吗？group在哪？你前面好像提过 Gal(K*/K)？