等差的三个平方数、地球ETO组织、三体人

[verdelite]

大史老师布置了一个习题：写出三个不同的平方数，他们之间有等差关系。就是说，z^2-y^2=y^2-x^2。不许相互讨论通气。

结果三个好朋友学生交上作业后，老师给了0分。学生很委屈，说，我们三人给的答案各不相同，怎么能说我们讨论通气呢？老师说，你们看看，你们是好朋友，还有，你们的答案虽然各不相同，但是你们的答案里，那差值却是一样的。

后来证实，这三个人被三体人发展为ETO组织成员。他们做作业的方法就是问三体人给他们提供的chatGPT接口。chatGPT先是给了三个一样的答案，结果他们说不行。chatGPT就给了他们这交上来的三个不同答案，但是可能理解题意偏差，给的三个答案却享用同一个差值。这是一个科幻小说里面的一个情节。

放开小说不说，那么你知道他们的答案是什么吗？

(原先写成ECO，现在改了）

[（ヅ）]

目测有无穷多组答案

x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360
x = 46, y = 74, z = 94, diff = 3360
x = 97, y = 113, z = 127, diff = 3360
x = 4, y = 116, z = 164, diff = 13440
x = 92, y = 148, z = 188, diff = 13440
x = 194, y = 226, z = 254, diff = 13440
x = 6, y = 174, z = 246, diff = 30240
x = 138, y = 222, z = 282, diff = 30240
x = 291, y = 339, z = 381, diff = 30240
x = 8, y = 232, z = 328, diff = 53760
x = 184, y = 296, z = 376, diff = 53760
x = 388, y = 452, z = 508, diff = 53760
x = 10, y = 290, z = 410, diff = 84000
x = 230, y = 370, z = 470, diff = 84000
x = 485, y = 565, z = 635, diff = 84000
x = 12, y = 348, z = 492, diff = 120960
x = 276, y = 444, z = 564, diff = 120960
x = 582, y = 678, z = 762, diff = 120960
x = 14, y = 406, z = 574, diff = 164640
x = 322, y = 518, z = 658, diff = 164640
x = 679, y = 791, z = 889, diff = 164640
x = 62, y = 218, z = 302, diff = 43680
x = 103, y = 233, z = 313, diff = 43680
x = 334, y = 394, z = 446, diff = 43680
x = 124, y = 436, z = 604, diff = 174720
x = 206, y = 466, z = 626, diff = 174720
x = 668, y = 788, z = 892, diff = 174720
x = 146, y = 386, z = 526, diff = 127680
x = 503, y = 617, z = 713, diff = 127680
x = 718, y = 802, z = 878, diff = 127680

Process finished with exit code 0

[TheMatrix]

ETO吧。

[verdelite]

目测有无穷多组答案

x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360
x = 46, y = 74, z = 94, diff = 3360
x = 97, y = 113, z = 127, diff = 3360
x = 4, y = 116, z = 164, diff = 13440
x = 92, y = 148, z = 188, diff = 13440
x = 194, y = 226, z = 254, diff = 13440
x = 6, y = 174, z = 246, diff = 30240
x = 138, y = 222, z = 282, diff = 30240
x = 291, y = 339, z = 381, diff = 30240

Google 还是python?

[（ヅ）]

Google 还是python?

找不到规律，只能自己O(n^3)慢慢算

找到一组后全部乘以k还是解，so...

[verdelite]

找不到规律，只能自己O(n^3)慢慢算

找到一组后全部乘以k还是解，so...

乘以K的算是组合解，不算“质解”。那么问：质解有无穷多吗？

[（ヅ）]

乘以K的算是组合解，不算“质解”。那么问：质解有无穷多吗？

也在想这个问题，猜测可能是无穷多

上面就有3组
x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360
x = 46, y = 74, z = 94, diff = 3360
x = 97, y = 113, z = 127, diff = 3360

x = 62, y = 218, z = 302, diff = 43680
x = 103, y = 233, z = 313, diff = 43680
x = 334, y = 394, z = 446, diff = 43680


x = 146, y = 386, z = 526, diff = 127680
x = 503, y = 617, z = 713, diff = 127680
x = 718, y = 802, z = 878, diff = 127680

[verdelite]

找不到规律，只能自己O(n^3)慢慢算

找到一组后全部乘以k还是解，so...

可能不需要O(n^3)。差不多O(n^2)。

[Caravel]

数论真的很无聊，没有规律。。。。

[verdelite]

找到四个学生的一组解，哈哈
802，1418，1838
2162，2458，2722
2729，2969，3191
6049，6161，6271
差值是1367520

搜了10000以内。下面python code里面，如果用上限10000，占用内存17G。如果你电脑内存较小，可以选个较小数字来跑。

diffDict={}
itemDict={}
x=[item*item for item in range(1,10000)]
for i in range(len(x)):
   for j in range(i+1,len(x)):
       diff=x[j]-x[ i]
       if diff in diffDict:
           diffDict[diff].append((i+1,j+1))
           itemDict[diff].append(i+1)
           itemDict[diff].append(j+1)
       else:
           diffDict[diff]=[(i+1,j+1)]
           itemDict[diff]=[ i+1]
           itemDict[diff].append(j+1)

寻找三个学生的答案：
[item for item in itemDict if len(itemDict[item])-len(set(itemDict[item])) >= 3]
[43680, 2825760, 3360, 174720, 8168160, 11303040, 393120, 13440, 698880, 7862400, 1092000, 30240, 1572480, 2140320, 53760, 1149120, 2795520, 3538080, 84000, 4368000, 3024000, 5285280, 120960, 6289920, 7381920, 164640, 2328480, 8561280, 9828000, 215040, 4596480, 11182080, 5987520, 12623520, 272160, 14152320, 15768480, 336000, 17472000, 19262880, 127680, 406560, 12096000, 21141120, 3659040, 483840, 665280, 10342080, 567840, 658560, 9313920, 4116000, 4583040, 5470080, 756000, 860160, 971040, 4514400, 1088640, 3192000, 4851840, 1212960, 1344000, 1481760, 20956320, 510720, 1626240, 1777440, 6726720, 14636160, 1935360, 2661120, 8848224, 2100000, 2271360, 2449440, 2634240, 16464000, 18332160, 15449280, 1367520, 3228960, 3440640, 8739360, 3884160, 18057600, 4354560, 4599840, 12768000, 19407360, 5110560, 5376000, 5648160, 5927040, 6212640, 2042880, 6504960, 6804000, 7109760, 7422240, 7741440, 8067360, 35392896, 7993440, 8400000, 15536640, 9085440, 9438240, 9797760, 10164000, 10536960, 10916640, 11696160, 3756480, 12502560, 12915840, 13335840, 13762560, 14196000, 10311840, 15083040, 15996960, 16937760, 17418240, 17905440, 18399360, 18900000, 1145760, 6256320, 19921440, 20442240, 8171520, 12307680, 15025920]

寻找四个学生的答案：
>>>[item for item in itemDict if len(itemDict[item])-len(set(itemDict[item])) >= 4]
[1367520]

四个学生的答案的情况：
>>>[ i for i in itemDict[1367520] if itemDict[1367520].count(i) > 1]
[1418, 1418, 2458, 2458, 2969, 2969, 6161, 6161]

>>>[item for item in diffDict[1367520] if item[0] in [1418, 2458, 2969, 6161] or item[1] in [1418, 2458, 2969, 6161]]
[(802, 1418), (1418, 1838), (2162, 2458), (2458, 2722), (2729, 2969), (2969, 3191), (6049, 6161), (6161, 6271)]

还没想好怎么搜长度为4的数列。

[（ヅ）]

可能不需要O(n^3)。差不多O(n^2)。

属实

[TheMatrix]

数论真的很无聊，没有规律。。。。

这个是Pell方程。二次的Diophantine方程应该已经完全研究清楚了。

https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

这个问题也可以用椭圆曲线找有理点的方式探讨。

数论不是无聊，是太高维了，找不到规律。找不到规律的东西，相当于没有chartered的土地，其结果也不能纳入知识体系，所以显得无用。但是能以某种方式纳入知识体系的话，那就有用了。

[TheMatrix]

这个是Pell方程。二次的Diophantine方程应该已经完全研究清楚了。

https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

这个问题也可以用椭圆曲线找有理点的方式探讨。

数论不是无聊，是太高维了，找不到规律。找不到规律的东西，相当于没有chartered的土地，其结果也不能纳入知识体系，所以显得无用。但是能以某种方式纳入知识体系的话，那就有用了。

用椭圆曲线找有理点的方法我觉得更加直观。这里是二次方程，更加容易找到。这个方法我以前用computer algebra证明平面几何问题时用过。

x²-y²=y²-z²
x²+z²=2y²
这是齐次方程，除以z²变成有理方程：
(1) x²+1=2y²

假设找到一个解，也就是点p₀₌(x₀,y₀)：
(2) x₀²+1=2y₀²

过p₀画一直线，要求斜率m为有理数：
(3) y-y₀=m(x-x₀)
该直线与原二次曲线的另一交点即为该曲线的另一个有理点。为什么呢？

因为(1)-(2)得到：
(x+x₀)(x-x₀)=2(y+y₀)(y-y₀)
(4) (x+x₀)=2m(y+y₀)

(3)(4)联立可解出另一个有理点。

而且曲线上全部有理点都可以这样得出 - 只需要m遍历全部有理数。

[FoxMe]

赞！

还有一个简单方法得到无穷多解：先求(1)的整数解

x+y sqrt{2} = (1+sqrt{2})^n, n = 1,3,5,...

有无穷多个: x=1,y=1; x=7,y=5; x=41,y=29; ...（这里已经给出z=1时的无穷多解了。）

然后用z^2去乘（1）。比如x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360就是用2乘，把z和x换了一下。

这是Pell方程的求法，但是得不到所有的解。

[FoxMe]

数论真的很无聊，没有规律。。。。

最近的几道题叫丢番亭方程，即求整数解的方程。一般不好求，但是某些特殊情况也有很多结果，研究了几百年。

Pell方程是代数数论的典型例子，很有规律。

[FoxMe]

用椭圆曲线找有理点的方法我觉得更加直观。这里是二次方程，更加容易找到。这个方法我以前用computer algebra证明平面几何问题时用过。

x²-y²=y²-z²
x²+z²=2y²
这是齐次方程，除以z²变成有理方程：
(1) x²+1=2y²

假设找到一个解，也就是点p₀₌(x₀,y₀)：
(2) x₀²+1=2y₀²

过p₀画一直线，要求斜率m为有理数：
(3) y-y₀=m(x-x₀)
该直线与原二次曲线的另一交点即为该曲线的另一个有理点。为什么呢？

因为(1)-(2)得到：
(x+x₀)(x-x₀)=2(y+y₀)(y-y₀)
(4) (x+x₀)=2m(y+y₀)

(3)(4)联立可解出另一个有理点。

而且曲线上全部有理点都可以这样得出 - 只需要m遍历全部有理数。

(3)(4)联立，求得
x = ((2m^2+1)x_0 - y_0)/(2m^2-1)
y = (2mx_0 + (2m^2 - 2m -1)y_0)/(2m^2-1)

但是，如果x_0=1,y_0=1, 无论m是什么，只有唯一解x=y=1。怎么回事？

[TheMatrix]

(3)(4)联立，求得
x = ((2m^2+1)x_0 - y_0)/(2m^2-1)
y = (2mx_0 + (2m^2 - 2m -1)y_0)/(2m^2-1)

但是，如果x_0=1,y_0=1, 无论m是什么，只有唯一解x=y=1。怎么回事？

我得到的是：
x=((2m^2+1)x_0 - (4m) y_0)/(2m^2-1)
y=(x+x_0)/(2m) -y_0

y_0前面有个系数(4m)。

[Caravel]

最近的几道题叫丢番亭方程，即求整数解的方程。一般不好求，但是某些特殊情况也有很多结果，研究了几百年。

Pell方程是代数数论的典型例子，很有规律。

就让你们做数学的做吧

[yilou]

通解： for any integers a and b
y=a² + b²
x + z*i = (1 ± i)*(a + b * i)²

用椭圆曲线找有理点的方法我觉得更加直观。这里是二次方程，更加容易找到。这个方法我以前用computer algebra证明平面几何问题时用过。

x²-y²=y²-z²
x²+z²=2y²
这是齐次方程，除以z²变成有理方程：
(1) x²+1=2y²

假设找到一个解，也就是点p₀₌(x₀,y₀)：
(2) x₀²+1=2y₀²

过p₀画一直线，要求斜率m为有理数：
(3) y-y₀=m(x-x₀)
该直线与原二次曲线的另一交点即为该曲线的另一个有理点。为什么呢？

因为(1)-(2)得到：
(x+x₀)(x-x₀)=2(y+y₀)(y-y₀)
(4) (x+x₀)=2m(y+y₀)

(3)(4)联立可解出另一个有理点。

而且曲线上全部有理点都可以这样得出 - 只需要m遍历全部有理数。

[pinfish]

最起码得要求三个数互质
否则等比放大当然有无穷多解

也在想这个问题，猜测可能是无穷多

上面就有3组
x = 2, y = 58, z = 82, diff = 3360
x = 46, y = 74, z = 94, diff = 3360
x = 97, y = 113, z = 127, diff = 3360

x = 62, y = 218, z = 302, diff = 43680
x = 103, y = 233, z = 313, diff = 43680
x = 334, y = 394, z = 446, diff = 43680


x = 146, y = 386, z = 526, diff = 127680
x = 503, y = 617, z = 713, diff = 127680
x = 718, y = 802, z = 878, diff = 127680