共 10 条评论

1. 

   Amorphous[博主]

   2024年 3月 6日 19:24

   TheMatrix 写了： 2024年 3月 6日 17:36 确实不是球。有点像眼球：
   
   

   对的。
   
   可以进一步加难度, 如果是一个磁性星球, 请问什么形状某点磁力最大. 这个似乎没有妙的解法, 大概只能猜一下极值点附近的形状.

   评论
2. 

   TheMatrix

   2024年 3月 6日 17:36

   Amorphous 写了： 2024年 3月 5日 19:50 你上面已经接近了。
   
   首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.
   
   使用以极值点为原点的球坐标.
   
   考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为
   
   cos(theta) *G * rho * dV/r^2
   
   cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.
   
   那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得
   
   cos(theta) / r^2 = const

   确实不是球。有点像眼球：
   
   

   评论
3. 

   TheMatrix

   2024年 3月 6日 16:23

   TheMatrix 写了： 2024年 3月 5日 20:45 漂亮。
   
   极值曲面沿表面移动体积元重力加速度不变，这个我还得想想。不过这个条件很漂亮。
   
   我也是在定性考虑：
   假设一个体积元，沿轴向从1移动到1+x。
   另一方面，沿垂直轴向移动y。
   那么两个方向效果相等的关系为：
   1/(1+x)² = 1/(1+y²)^(3/2)
   
   我感觉直觉培养到一定程度，从这些关系中就可以看出什么是最佳形状。

   我这个考虑的是如何把小体积元安排在最近的位置上，同时尽可能靠近轴线，以得到最大的万有引力在轴线上的分量。但是轴线附近的位置是有限的，所以就会往远离轴线的地方挤过去。
   
   所以，安排小体积元应该是一层一层安排，一层安排满了才走下一层。每一层是一个曲面，曲面上每一个位置的小体积元对基点的万有引力相同。这解释了小体积元在物体表面移动对基点的万有引力不变这个条件。
   
   我这里用x和y两个变量，在1的附近应该是对的。但是任意位置的话，好像不容易处理。

   评论
4. 

   TheMatrix

   2024年 3月 5日 20:45

   Amorphous 写了： 2024年 3月 5日 19:50 你上面已经接近了。
   
   首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.
   
   使用以极值点为原点的球坐标.
   
   考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为
   
   cos(theta) *G * rho * dV/r^2
   
   cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.
   
   那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得
   
   cos(theta) / r^2 = const

   漂亮。
   
   极值曲面沿表面移动体积元重力加速度不变，这个我还得想想。不过这个条件很漂亮。
   
   我也是在定性考虑：
   假设一个体积元，沿轴向从1移动到1+x。
   另一方面，沿垂直轴向移动y。
   那么两个方向效果相等的关系为：
   1/(1+x)² = 1/(1+y²)^(3/2)
   
   我感觉直觉培养到一定程度，从这些关系中就可以看出什么是最佳形状。

   评论
5. 

   Amorphous[博主]

   2024年 3月 5日 19:50

   TheMatrix 写了： 2024年 3月 5日 19:31 不是球体吗？不会是椎体吧？不应该。钟形？

   你上面已经接近了。
   
   首先极值点重力一定是沿着旋转轴方向.
   
   使用以极值点为原点的球坐标.
   
   考虑表面体积元 dV, 那么对极值点重力加速度的贡献为
   
   cos(theta) *G * rho * dV/r^2
   
   cos(theta) 是因为只有轴向的贡献, 因为柱对称.
   
   那么极值条件是, 在表面任意移动体积元, 极值点重力加速度不变. 可得
   
   cos(theta) / r^2 = const

   评论
6. 

   TheMatrix

   2024年 3月 5日 19:31

   Amorphous 写了： 2024年 3月 5日 19:22 柱对称是对的. 但不是球体. 不会变分法, 但是知道变分法的精神就可以做, 所以我说土法变分

   不是球体吗？不会是椎体吧？不应该。钟形？

   评论
7. 

   TheMatrix

   2024年 3月 5日 19:29

   TheMatrix 写了： 2024年 3月 5日 15:12 变分法应该能解这个问题。
   
   需要一些定性分析：
   1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
   2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
   3，旋转抽可以指定为一个方向。
   4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
   5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。
   
   然后写一个积分。再变分。。。
   
   结果应该是个球。

   假设A为原点，旋转轴为x轴，B的x坐标可以设定为1。
   
   曲线为一个函数f(x)。绕x轴旋转起来之后，x坐标处有一个圆饼，半径为f(x)。
   
   考虑距离x坐标轴r处的一个小体积元，r dr dθ dx，对原点的万有引力，
   
   F = (r dr dθ dx)/(r²+x²)
   
   由于轴对称，只需要考虑x方向的分量：
   
   F_x = F * x/√(r²+x²)
   
   对F_x积分，x从0到1，θ从0到2π，r从0到f(x)。求使得积分最大的f。
   
   限定体积，也就是(r dr dθ dx)的积分为常数。

   评论
8. 

   Amorphous[博主]

   2024年 3月 5日 19:22

   TheMatrix 写了： 2024年 3月 5日 15:12 变分法应该能解这个问题。
   
   需要一些定性分析：
   1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
   2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
   3，旋转抽可以指定为一个方向。
   4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
   5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。
   
   然后写一个积分。再变分。。。
   
   结果应该是个球。

   
   柱对称是对的. 但不是球体. 不会变分法, 但是知道变分法的精神就可以做, 所以我说土法变分

   评论
9. 

   TheMatrix

   2024年 3月 5日 15:12

   Amorphous 写了： 2024年 3月 5日 08:41 有一均匀无空洞星体, 给定体积和密度. 问星体什么形状时, 其表面某点万有引力最大？

   变分法应该能解这个问题。
   
   需要一些定性分析：
   1，以表面一点为基点A来看的话，物体表面需要接触A点。
   2，物体应该以通过A点的直线有旋转对称性。
   3，旋转抽可以指定为一个方向。
   4，所以物体表面由一条曲线绕旋转轴旋转而成，该曲线通过A点和旋转轴上另外一点B。A和B为该物体的端点 - 超过就没有。
   5，该曲线为凸函数(f''<0)，因为如果不凸的话，。。。这个应该是可以说明的。
   
   然后写一个积分。再变分。。。
   
   结果应该是个球。

   评论
10. 

    TheMatrix

    2024年 3月 5日 11:21

    Amorphous 写了： 2024年 3月 5日 08:41 有一均匀无空洞星体, 给定体积和密度. 问星体什么形状时, 其表面某点万有引力最大？

    我简化出另一个问题：给出一个形状，其表面某点万有引力超过球形。

    评论