S6置换群的共轭类计数与选钥匙问题
帖子 由 Caravel » 1月 14, 2023, 4:53 pmS6是6个元素的置换群。每一个群元素也就是一种置换都可以写成1个或者多个cycle的组合。一个cycle形如(123) 的意思是1→2, 2→3, 3→1. 交换可以看成是2-cycle,不动则是1-cycle。1-cycle通常是省略的,但是下面为了明显还是写出来。

这种cycle的结构是群共轭不变量,也就是g(1234)(56) g^-1变换之后依然会保持4+2这样的cycle结构。利用这一点,我们就可以很容易找到S6的所有共轭类。这里面用到了一个n-cycle的可能个数可以用圆排列来算出。

S6 Conjugacy class

1. (123456) 120
2. (12345)(6) C(6,1) * 4! =144
3. (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;
4. (1234)(5)(6) C(6,4) * 3! = 90;
5. (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;
6. (123)(45)(6) C(6,3)* C(3,2) * 2! = 120;
7. (123)(4)(5)(6) C(6,3) * 2!= 40;
8. (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15
9. (12)(34)(5)(6) C(6,2)*C(4,2) / 2! = 45;
10. (12)(3)(4)(5)(6) C(6,2) = 15;
11. (1)(2)(3)(4)(5)(6) = 1; 单位元

总共是11个共轭类,720个元素。

下面我们看看怎么用S6解决**verdelite的问题**

[帖子](viewtopic.php?p=650098#p650098) 由 **verdelite** » January 14, 2023 11:32 AM

6对夫妻经常新年聚会。这次他们发现,子女都离家了,就剩下他们自己了,不像往年那么热闹了。好无聊。就有人提议男人们把钥匙串放桌上。女人们来拿钥匙,每人拿一串,但是不得拿自己丈夫的钥匙串(自己丈夫的钥匙串当然是认得的)。问有几种不同的拿法。

不难看出这就是一个置换的计数问题,但是不能拿自家的钥匙,所以要排除那些有1-cycle的共轭类。那么看一下实际上只剩下 1,3,5,8四个共轭类。加一下120+90+40+15=265. 答案正确。同时我们还得到这些排列组合里面结构,群论的威力可见一斑。而且这些共轭类也包含了更多更丰富的内容,比如有2个人不愿意参加游戏还有多少可能之类的。

index1 (123456) 120

index3 (1234)(56) C(6,4) * 3! = 90;

index5 (123)(456) C(6, 3)/ 2! * 2! * 2 ! = 40;

index8 (12)(34)(56) C(6,2)*C(4,2)/3! = 15