加入平行公理的平面几何是否是完备的？是否是自洽的？我怎么没觉得发现什么不可证明的定理什么的？牛河梁 写了： 2025年 6月 19日 18:59 1/ 没有看到你说的楼。以下是老牛GPT给的一般背景知识。
哥德尔定理和图灵停机问题是一回事。和康托尔用对角线法证明可数不可数是一回事。对角线法有人理解不了所以有争议。但可数不可数不需要用对角线法。被接受以后哥德尔和图灵用对角线法比较直观。
a/ 康托尔用对角线法构造了一个可数无穷集中不存在的数。从而证明实数不可数。
b/ 哥德尔将逻辑（定理）映射为整数（哥德尔数），从而用a/方法构造了一个此集不存在的数）。由于这个数不存在于原来的（可数）集。此定理不能被证明（不可数）。
c/ 图灵将图灵机映射为整数。同理用a/或b/方法构造了一个数，但这个数（对应的问题）没有图灵机可以解决。
在现实数学物理中，最著名的不可证明定理可能是平行线公理。选择不同的平行线公理决定了不同的几何。这种遇到不可证明定理就把它加为公理是一个思路。举例说选择公理，Yes/No成为两个分支。平行公理有三个分支。
图灵（尝试）在其博士论文证明，如果这样加入（可数）无穷条定理作为公理，则没有不可证明的定理。这一思想其实康托尔就有。康托尔建立了一个数的（可数那么多层的）等级结构。康托尔认为如果这么一直垒下去到可数无穷（omega）层，那里住着上帝（从而解决了上帝不能创造一块自己不能创造石头的问题）。
老牛认为，P vs NP也是这个思路：建立一个从P到NP不减的序列。如果P = NP，则这个序列会collapse，每一项都等于P和NP。剩下的问题就是如何构造这么一个序列了。
2/
应该还在用。美国政府每年都按类似于API call次数支付版权费（给老牛当年的公司）。
另外你那个技术，到底是做什么的啊？就是说它实现的美国政府需要的那个功能是什么？不用说怎么做的，能告知吗？
