各位数学家们来看看能让哈佛数学专业的天才学生们闻风丧胆嚎啕大哭的Math55倒底是啥东东？

[张旺教授]

这个表谁搞的，不准嘛。

密西根大学两个毕业生Stephen Smale(BS, PhD) 和 June Huh(PhD) 获得过Fields. 这个表给0.

[Linjiaojiao]

能比柏克利强？诺与非儿子是不如

[Linjiaojiao]

先比柏克利强 再来叫板哈佛

[rgg]

Math 55 是美国数学专业第一难课，是公认的。怎么能只看目录？ 怎么能吧大一第一门课和别校后续整整两年的课程比较？

[Linjiaojiao]

Math 55 是美国数学专业第一难课，是公认的。怎么能只看目录？ 怎么能吧大一第一门课和别校后续整整两年的课程比较？

此人还不算太离谱
耗老尸把UCSD吹成第一

[Linjiaojiao]

Math 55 是美国数学专业第一难课，是公认的。怎么能只看目录？ 怎么能吧大一第一门课和别校后续整整两年的课程比较？

而且不是数学专业 第一年没专业 只要考得上就能上
当然活下来基本上是数学教授 账单大门除外
不会去医学院

[idocare]

其实没那么难。

当然，小朋友选课之前，很多上过的人说难，选了之后才知道，其实也就那么回事。

我给鉴定了一下，真的就那么回事，没那么难。

math55是著名的大一课程，但是不是给普通大一学生的。没有两把刷子就不要去上。大一上这些这么多。网上能找到作业和考试吧，各位可以去试试

[Linjiaojiao]

其实没那么难。

当然，小朋友选课之前，很多上过的人说难，选了之后才知道，其实也就那么回事。

我给鉴定了一下，真的就那么回事，没那么难。

那是你孩子牛
去年一俄神童 上课从来不去 一考都满分
一起做作业 不仅一眼看出你错了 还能看出那里你没学懂

[Linjiaojiao]

这个表谁搞的，不准嘛。

密西根大学两个毕业生Stephen Smale(BS, PhD) 和 June Huh(PhD) 获得过Fields. 这个表给0.

这个给了一个。没小王 MIT还得光头

[pplar]

@Linjiaojiao

本楼的主题是Math55。

不明白为什么要讨论图灵与菲尔兹？

如果你真要比较H与M的本科生数学教育或两校所招[本科]学生的数学功底，可以讨论近5年两校参加Putnam Competition的情况。如果你真要讨论菲尔兹，可以研究一下两校20年内本科毕业生的获奖情况。

[windy]

真是无知无畏，拿个目录就以为能鉴定一门课的难易。跑出来拿MIT高年级本科和研究生的来比哈佛一年级的第一门数学课的内容深度。MIT的代数几何和表示论是一年级新生去上的吗？

单说内容，数学不就是那么多吗，无非代数和分析两大块。对一年级学生来说，其实数学分析（不是微积分）就已经非常难了，一般都要一年。然后还有复分析，一般大学也是至少一学期的课，加上拓扑，流型这些。一般大学这些内容需要至少4-5个学期才能学完。在Math 55b是一学期的事。emath55A的内容在大部分大学也是3-4个学期的内容。而且并不是内容多就浅尝辄止，平时的作业题也相当多。有的讲的还相当深。比如70届开始有75人，后来只剩20人。早些年Math55的内容很多都是数学系研究生才学到的东西。而且Math55全部是proof-based。美国的高中生，即使是AP课，也基本是没有proof的。可以想象一下对刚进大学的新学的挑战。

这些年其实Math 55已经没有早些年那么难，内容更规范化，淘汰率也没那么变态了(一届有40-50人），Math 55A基本是25A+122, 55B是25B+113.早些年的Math55的内容更深，更广。但即便如此，难度对一年级学生来说也是相当大。就深度来说，Math 25A或者25B的内容单独拿出来，在大部分大学的数学系也是一整年的课。Math 55 的传奇更多来自压缩比和速度，而不只是某一个知识点特别高深。

[windy]

如果按我们刚才讨论的那个“综合强度 = 内容量 + 抽象程度 + 证明要求 + 速度”来排，Harvard Math 21 和 Math 25、55 之间差距就非常明显了。

现在 Harvard 官方把 Math 21a/21b 称为 standard sequence：21a 是 Multivariable Calculus，21b 是 Linear Algebra and Differential Equations。21a 包括偏导数、梯度、多元优化、重积分、向量场，以及 Green/Stokes/Divergence Theorems；21b 则是标准线性代数结合微分方程、动力系统和 Fourier series。([Harvard Math][1])

如果把 Math 55 ≈ 10，我会大致这样给：

Harvard 课程	综合强度	大致定位
Math 21A / 21B	3–4	标准大学数学 sequence
Math 22A / 22B	4–5	开始加入 proof 的版本
Math 25A / 25B	5–6	theoretical / honors，明显 proof-based
Math 55A / 55B	9–10	超高速、高抽象、大容量

Harvard 自己的分类其实也支持这种看法：21 是 standard sequence；22、25、55 才逐步进入 theory/proof-oriented 路线。 ([Harvard Math][2])

Math 21 放到普通大学是什么水平？

Math 21 其实并不“低级”。如果拿美国一般大学比较：

Math 21A ≈ 一学期标准 Calculus III / Multivariable Calculus

Math 21B ≈
一门 Linear Algebra
＋ 一部分 Differential Equations

所以 Math 21A + 21B 一年，放在一般大学大概就是数学、工程、物理本科生 sophomore 阶段很标准的一年数学。

但是它跟 Math 25 的区别，不只是“题难一点”。

核心区别其实是：

Math 21 的目标是让你会使用数学；Math 25 开始要求你从定义、定理、证明的角度理解数学。

例如同样是 linear algebra：

Math 21B 会重点做

$$
Ax=b,\quad \text{eigenvalues},\quad \text{diagonalization}
$$

以及用它们解决 differential equations。

到了 Math 25A，关注的问题更接近：

$$
V,\;W,\; T:V\rightarrow W
$$

vector space、linear transformation、kernel、image、quotient space、dual space 等抽象结构，以及为什么定理成立。

Math 55A 再往上走一步：

默认你能处理这种 abstract linear algebra，然后迅速进入 groups、rings、ideals、factorization 等 abstract algebra。

实际上 Harvard 2026 年 Math 122 的 prerequisite 也很说明问题：22ab 或 25ab 可以作为准备；而 21ab 本身通常还不够，需要再加 Math 121 或 proof-based Math 101。同时 Harvard 明确说，修过 55A 的学生通常不应该再修 122，因为内容已经覆盖。([Harvard Math][3])

所以，如果只看内容层级和数学成熟度，我会画成：

Math 21：3
↓
Math 22：4–5
↓
Math 25：5–6
↓
Math 55：9–10

[windy]

如果跟 MIT、Berkeley 这种顶尖大学“普通数学/理工科一年级路径”相比，Harvard Math 21 并没有明显更高一个档次。它大致就在同一层级；真正拉开差距的是 Harvard 的 Math 22/25/55 或 MIT 的 honors/theoretical 路线。

具体看：

Harvard	MIT	Berkeley	我的判断
Math 21A Multivariable Calculus	18.02 Multivariable Calculus	Math 53 Multivariable Calculus	基本同档
Math 21B Linear Algebra + Differential Equations	18.06 Linear Algebra + 18.03 DE 的部分内容	Math 54 Linear Algebra + Differential Equations	和 Berkeley 54 尤其接近
Math 22/25	MIT 18.022、18.700 等更理论路线	Honors 53/54、后续 proof 课程	开始高于普通 freshman sequence
Math 55	没有完全一一对应；更像多门 advanced course 压缩	也没有直接对应	极特殊 accelerated honors 路线

Harvard 官方的 Math 21A 内容就是多元微积分：partial derivatives、gradient、optimization、multiple integrals、vector fields，以及 Green/Stokes/Divergence theorem。MIT 18.02 的官方 syllabus 几乎是一模一样的框架。([Harvard Math][1])

Berkeley Math 53 也就是 Multivariable Calculus，所以：

Harvard 21A ≈ MIT 18.02 ≈ Berkeley Math 53

这一点我认为相当明确。([Department of Mathematics][2])

21B 和 Berkeley 更像

Harvard 21B 是：

Linear Algebra + Differential Equations

而 Berkeley Math 54 的名字就直接是：

Linear Algebra and Differential Equations。([Department of Mathematics][2])

因此：

Harvard Math 21B ≈ Berkeley Math 54

非常合理。

MIT 的安排稍微不同。MIT 把它们拆得更细：

• 18.06 Linear Algebra
• 18.03 Differential Equations

MIT 18.06 包括 vector spaces、eigenvalues、SVD、positive definite matrices、least squares、Fourier transforms、Markov processes 等，而且偏应用和计算。([MIT WebSIS][3])

所以不能简单说：

Harvard 21B = MIT 18.06

更准确是：

Harvard 21B ≈ MIT 18.06 的核心线性代数 + 18.03 的一部分

但是由于 MIT 把两块各自开成独立课程，如果一个 MIT 学生把 18.06 + 18.03 都学完，内容量通常会超过单独一个 Harvard 21B。

MIT 有一个很有意思的对应：18.022

MIT 还有 18.022，它和普通 18.02 学相同的 multivariable calculus，但官方明确说：

“more focus on mathematical concepts”

而且包括 continuity、differentiability、derivative、curvature、torsion、更系统的 Stokes theorem。([MIT Course Catalog][4])

所以我会把它排成：

Harvard 21A ≈ MIT 18.02 ≈ Berkeley 53

然后：

MIT 18.022 > Harvard 21A

但也还没到 Harvard Math 25 那个程度。

一个重要区别：MIT freshman 的“普通课程”其实并没有大家想象得那么夸张

MIT 官方自己说，所有本科生的基础数学 GIR 就是：

18.01 单变量微积分 → 18.02 多变量微积分。([MIT Mathematics][5])

也就是说，一个 MIT freshman 如果走标准路线，数学课程并不会天然比 Harvard Math 21 高很多。

真正很强的 MIT 数学学生会迅速跳到：

18.700 rigorous linear algebra → 18.701 algebra → 18.100 real analysis → 更高级课程

MIT 官方明确区分：

• 18.06：应用型 linear algebra
• 18.700：rigorous linear algebra，更多 theory and proofs
• 18.701：更高抽象度，还包括 group theory。([MIT Mathematics][6])

这才开始进入和 Harvard Math 25/55 类似的世界。

Berkeley也是如此

Berkeley pure math major 的 lower-division 正常要求现在是：

Math 51 → 52 → 53 → 54/56 → 55

也就是 calculus、multivariable calculus、linear algebra/differential equations、discrete mathematics。([Department of Mathematics][7])

这条正常路线和 Harvard Math 21 的层次没有质的区别。

因此，如果仍然用我们刚才那个 Math 55 = 10 的粗略尺度，我会这样改：

课程	综合强度大致评分
Harvard 21A	3
MIT 18.02	3–3.5
Berkeley 53	3
Harvard 21B	3–3.5
Berkeley 54	3–3.5
MIT 18.06	3.5–4
MIT 18.022	4
MIT 18.700 rigorous linear algebra	5–6
Harvard Math 25	5–6
Harvard Math 55	9–10

所以我认为最重要的结论是：

Harvard Math 21 并不是“Harvard 特别高级的数学”。它基本就是 MIT/Berkeley 这一级学校的标准 multivariable calculus / linear algebra 路线。

真正体现 Harvard 那种极端数学训练的是 Math 25 和特别是 Math 55。

而且如果比较最强的 freshman，情况又完全不一样：一个 MIT 数学特别强的一年级学生可能直接进入 18.700/18.701，甚至很快接 18.100；这时他的路线就会开始接近 Harvard 25，甚至部分接近 55。只是 MIT 没有像 Math 55 那样把这么多高级基础内容硬压成一个固定的一年级 sequence。

[pplar]

区区一门数学基础课就把一众哈佛“天才”学生吓到傻：

哈佛每年录取2千新生，只有不到50人敢试听math55。吓到最后，只有20人能真正完成该课程学习．．．哈佛招的什么学生啊？

难怪有各种家长通过各种关系甚至送钱把拉圾学生塞到哈佛。没听说过哪个拉圾学生敢去MIT。

[windy]

哈哈，看到有人满地打滚了

[luobo]

其实没那么难。

当然，小朋友选课之前，很多上过的人说难，选了之后才知道，其实也就那么回事。

我给鉴定了一下，真的就那么回事，没那么难。

相当于怪玲选坦佛的（introduction to）量子力学，题目吓死人。

现在哈佛、伯克利不是给大一新生补习高中数学吗？辉煌已是过去。

[windy]

MIT最难的一年级数学课也就Math 25的水平，普通MIT学生学得相当于哈佛的Math 21。至于去读医的，到哈佛读的恐怕是math 1a/1b.

[pplar]

居然proof-based数学课是高大上吗？能用之来证明课程难度吗？[国内]数学系的哪门数学课程不是proof-based?

版上的数学家们来说说。

[windy]

又来一个无知无畏的。Math 55的title一点都不吓人，Honors Abstract Algebra， Honors Real and Complex Analysis，也是人人都可以去选的。通常第一二个星期教室里都是座无虚席，等到第二个PSET做完，教室里就变的空空荡荡的。

哈佛和其它名校这些年确实招了些差的一P的学生， 但不代表人家的顶尖学生水平比以前招的顶尖水平学生差。这个逻辑你搞得懂不？搞不懂的话你也没资格评价人家名校

相当于怪玲选坦佛的（introduction to）量子力学，题目吓死人。

现在哈佛、伯克利不是给大一新生补习高中数学吗？辉煌已是过去。

[windy]

proof-based的一点都不高大上，但是肯定比calculation-based 或者application-oriented难多了