数学不是物理，物理也不是数学。至于数学为什么能够在物理学中如此成功，也就是数学与物理之间究竟如何发生联系，这是另一个问题。我在《常数之常（十）：表征主义下的科学观》 中有详细的说明。

我也曾讨论过类似问题：当数学进入物理之后，它就不再只是纯粹的符号系统，而会获得某种“经验语义”（empirical semantics）。物理学通过实验、测量和模型，把数学符号与物理量连接起来，把数学关系解释为自然现象之间的关系。于是，数学公式中的符号不再只是单纯的符号，而成为对世界的某种表征。

但是，这种表征关系并不是由符号本身自动产生的。AI 可以帮助我们寻找数学结构和物理现象之间的对应，甚至生成一些候选模型；但这些模型是否真正表征了世界，是否具有物理意义，是否构成可靠知识，仍然需要人类通过实验、测量、解释和证成来判断。我们可以把某种表征关系交给 AI 处理，但 AI 本身并不能自动完成对知识的证成（justification）。

但在这里，我不想讨论数学如何获得物理意义，也不讨论数学为什么能够如此有效地表征自然世界。这里我只想讨论数学作为数学，尤其是 AI 能不能在语法（syntax）层次上帮助我们。

形式主义（Formalism）主张：数学不是在发现某个超验数学世界里的对象，而是在给定公理和推理规则之后，对符号进行合法推演。数学在这个意义上首先是一套形式系统：它由符号、公理、定义和推理规则构成，数学家的工作就是在这些规则允许的范围内进行推导。

哥德尔不完备定理确实表明，任何足够强、有效公理化且一致的形式系统，都无法完全捕捉所有算术真理。因此，它打击的是希尔伯特式“彻底形式化数学”的理想，即用一个完备、一致、可机械操作的形式系统包办全部数学。

但这并不直接推翻形式主义的核心主张。哥德尔反对的不是“数学可以被形式化地研究”，而是“数学真理可以被某一个形式系统完全穷尽”。在 19 世纪末到 20 世纪初，许多数学家和逻辑学家曾希望把数学建立在一个绝对严格、完备、无矛盾的逻辑基础上。哥德尔之后，这种理想遭到了深刻打击。数学不再只是一个封闭、洁净、完美的逻辑圣殿；它也呈现出一种开放的、探索性的、甚至带有“实验”气质的活动方式。

因此，现代数学哲学中出现了一种重要观点：数学可以被看作一种“准经验科学”（quasi-empiricism）。按照这种看法，数学的发展并不总是从公理出发，线性地推出定理。现实中的数学创造往往更像科学探索：

1. 数学家先凭直觉、类比、审美和猜测发现某个可能成立的结论；

2. 然后他们用现有的逻辑框架去尝试证明它；

3. 如果现有框架不够用，或者出现悖论与困难，他们便会重新审视定义、公理和基本概念，甚至修改整个理论框架。

从这个角度看，数学并不是单纯的符号推演，也不是完全主观的心灵构造，而是一种在形式证明、直觉猜想、概念修正和理论选择之间不断往复的探索活动。

如果接受数学具有这种“准经验科学”的特征，那么 AI 与数学的关系也需要重新理解。

AI 确实可以在数学活动中发挥巨大作用。它可以帮助我们在既有逻辑框架内寻找证明，检查推理漏洞，枚举可能路径，发现反例，甚至提示我们某些定义或公理可能需要修改。在这一点上，AI 很可能承担数学研究中大量繁重、技术性、形式化的工作。

但是，数学并不只是证明。数学还包括提出什么问题、为什么这个猜想值得研究、什么样的定义是自然的、什么样的公理是有意义的、什么样的理论值得保留，以及什么时候应该放弃一个旧框架。这些判断不仅是逻辑判断，也是审美判断、认识论判断，甚至也包括了价值判断。

因此，AI 可以完成数学研究中大量形式化的工作。它可以帮助我们证明命题，也可以帮助我们发现现有理论框架的缺陷，甚至提出修改定义和修补公理的方案。尤其在第二步，也就是“用现有逻辑框架尝试证明”这一环节中，AI 的能力会越来越强。

但第一步中的直觉性猜想，以及第三步中关于“是否应该修改框架、如何修改才算合理”的最终判断，仍然不能简单交给机器。AI 可以提出候选方向，但这些方向是否重要、自然、优美，是否值得被数学共同体接受，仍然需要人类来判断。

所以，我的结论是：AI 可以成为数学家的强大助手，甚至在某些局部任务上超过人类；但它未必能完全取代人类数学家的角色。因为数学不仅是推理机器的产物，也是问题选择、意义赋予、重要性判断和概念重塑的活动。AI 可以帮助数学家在形式系统中走得更远，但只有人类才能决定哪个方向值得走。