科学的基础是经验归纳（Empirical induction），即从具体观察中推理出某种一般规律，用来理解、预测、甚至反过来操纵经验世界。因此，科学理论本质上都是可错的（Fallible）。
数学的基础是公理演绎（Axiomatic deduction），从假设的公理出发，推理出逻辑上的必然结论。数学属于绝对的演绎逻辑，在其自身体系内是绝对正确的。
然而，哥德尔从数学上证明了：任何一个足够强大的数学形式系统，都无法在自身内部证明自己的自洽性。受此启发，现代数学哲学出现了一派（准经验主义， Quasi-empiricism），把数学看作一种“准经验科学”：数学的创造过程往往极具科学探索色彩 —— 数学家先凭直觉、类比、审美和猜测发现某个可能成立的猜想，再用现有的逻辑框架去尝试证明。如果框架不够用或遇到悖论，他们便会重新审视定义、公理，甚至重构整个理论框架（有时甚至也包括逻辑推理本身）。
但这两者有根本不同：数学的这一演进过程，除了最初的直觉激发，完全不需要依赖真实经验世界；而科学探索的每一步，都必须小心翼翼地面对经验世界的检验，看可以说步步惊心。
借用数学中收敛（convergence）与渐近逼近（Asymptotic approximation）两个概念，很多受国内理工教育的学生经常会理所当然地认为：
科学 converges to 物理学；
物理学 asymptotically approximates to 数学。
最后形成 “科学 = 数学” 或者 “数学 = 科学” 这种幼稚的观念。
演绎需要前提，前提从哪来？归纳？还是先天的直觉真理？神在创造的时候就规定好的？
传统上从奥古斯丁开始（他已经把欧几里得几何看作真理的最模范形式了），就认为数学的前提和过程（推理形式）都是不证自明的，直觉的真理。
柏拉图把数学看作是永恒真理的范本。所以他的学园是不学数学者（或者不懂），请勿入内。
阿维森纳的演示（demonstration）和论辩(argument）的区别，数学的过程是演示，因为只要你能正确演示出来，无论是证明还是推导计算，别人只能同意，除非你的演示错误。所以这个东西，没有什么可以争辩的，只有一个寻求对错的过程。而论辩就不一样了，无论你证据如何充足，逻辑如何严密，别人总能也总可以不同意。他认为哲学和法律辩论都是如此。法律是最后还是需要法官来圣心独运，做个了断。哲学上则必须以古兰经为最后法官。
中世纪西欧神学家已经在争论，神能不能创造一个2+3不等于5的世界，也就是数学真理是先于神还是神所创造，甚至如同奥古斯丁的看法，永恒真理就是神本身，神就是数学真理的化身。
简单说，经院哲学的亚里士多德主义认为永恒真理根源于神的本质，或在其存在、或在其理智。真理和神是一回事。
而柏拉图主义认为永恒真理独立于神，根源于永恒的相 forms，相决定思想和一切存在的理性结构 – 作为相的摹本。 这样，神和相的关系就很是问题了。到底谁更高更永恒？所以中世纪神学最终还是完全转向了亚里士多德主义。
知识分为 a priori 和 a posteriori，数学是前者，科学和经验知识是后者，到康德都是如此。
只有笛卡尔是一个例外：他认为数学真理是神的自由创造，取决于神的意志，神可以有不同的意愿。也就是神完全能创造一个 2+3 不等于5的世界。
在第一沉思里。笛卡尔提出一个论点，你无法否认是不是有一个全能并且邪恶的神，他绑架了我们的一切输入输出，欺骗我们感觉和经验到完全不存在的东西，甚至也不停的欺骗和强行歪曲我们的意识，让我们认为 2 +3 = 5 之类. 如果有那样一个存在，我们的全部数学知识完全错误，也是可能的。并且你无法证伪它。
最终，笛卡尔得出结论，只有一个知识是可以确定的，不是数学知识，不是 2+3=5，而是 cogito ego sum. 我此刻在思考 2+3=5, 我还在想象一个美女陪我玩，这是确定无疑的。如果有神或者魔鬼在欺骗我，那也否定不了我的存在，否则它欺骗谁来？
关于高等学校的数学专业的教育，中外有啥差别呢？国内还是接着做题？只是好奇地问问。
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☆ 发自新买提 iOS 26.07.21