科学与数学
（一）
科学的基础是经验归纳（Empirical induction），即从具体观察中推理出一般规律，用来理解、预测、甚至操纵经验世界。因此，科学理论本质上都是可错的（Fallible），最终必须接受经验世界的约束。
数学的基础是公理演绎（Axiomatic deduction），从假设的公理出发，推理出逻辑上的必然结论。数学属于演绎逻辑，在其自身体系内是绝对正确的。数学命题不是被经验世界推翻的，而是由于证明过程有误、定义不清、公理改变等非经验因素。
（二）
然而，哥德尔从数学上证明了：对于一个一致的、可有效公理化的、强到足以表达基本算术的形式系统，总会存在一些在通常意义上为真、却无法在该系统内部证明的命题。这表明，数学不可能被完全封闭在一个既完整又能够自我保证的形式体系之中。
与此同时，在现代数学中，也出现了数学准经验主义（quasi-empiricism）这一立场。它从数学史和数学实践出发，提出了另一种理解数学的方法：数学的发展往往经历“猜想—证明—反例—修正”的过程。反例并不总是简单地终结一个猜想；它也可能促使数学家修改定义、区分不同情形、限制命题的适用范围，或者重新理解原来的证明。
因此，数学的成果通常具有演绎形式，数学的创造过程也具有了鲜明的探索性。数学家可能先凭借直觉、类比、审美判断和计算实验提出一个猜想，再尝试用现有的逻辑和理论工具加以证明。如果证明失败，出现反例，或者原有框架不足以处理问题，他们便可能重新审视定义和公理，甚至重构整个理论框架。在某些数学基础研究中，这种反思还可能涉及推理规则和逻辑体系本身。
从这个意义上说，数学的创造过程与科学探索变得颇为相似：它并不是在既定道路上机械地推演，而是在猜测、尝试、失败和修正中逐渐发现新的结构。对于数学创造而言，提出问题、形成猜想和重新组织概念，有时甚至比在既定框架内完成推演或求解更为重要。
随着AI的发展，数学家甚至把解题与推演过程交给AI来做，而自己有更多精力去做更具创造性与直觉性的工作，详细说明请参考我以前的一篇说明《AI 能不能做数学？》。
（三）
但数学与科学有着根本不同：数学的演进过程，除了最初的直觉激发，完全不需要依赖真实经验世界；而科学探索的每一步，都必须小心翼翼地面对经验世界的检验，我用“步步惊心”这一次来形容科学的探索过程。
数学与科学的根本区别是约束条件的不同，两者都可以使用猜测、类比、直觉和模型，科学中也用到大量的演绎逻辑，但科学最终受经验约束，数学最终受证明约束。
那数学与科学到底有什么关系？
可以简单的说，数学是科学家用来描述科学理论的一个工具。
科学家未必一定要用“数学”这个工具来描述经验世界，但用“数学描述”的科学理论一般都显得简洁而方便，并且具有启发性。而这种启发性有时候如此成功，例如正电子的发现，以至于有人觉得“数学先于科学”：数学也许不只是人类发明的工具，而是在揭示某种独立于人类心灵而存在的自然本原。
这种观点通常与数学柏拉图主义有关。著名物理学家维格纳（Eugene Wigner）曾经提出过一命题，把这种想法推到了极致：
“数学在自然科学中无理由的有效性 (The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences) ”。
（四）
是啊，为什么数学在自然科学中如此有效？对此有着许多不同的解释。这里介绍其中一种，也是我比较喜欢的一种，即从认知的演化来解释。
人类的大脑是在适应物理环境的过程中演化出来的。为了生存，人类祖先必须判断猎物的距离，辨认物体的数量，预测运动轨迹，识别季节周期，并掌握空间方向。因此，我们的认知系统特别擅长发现数量、对称、重复、空间和规律。在这种生物直觉的基础上，人类逐渐创造和发展了数学。数学最初所依赖的计数能力、空间直觉、运动经验和模式识别能力，都与人类对物理世界的适应有关。
与此同时，人类也需要从对外部世界具体观察中概括出一般规律，以理解、预测，甚至操纵经验世界，由此逐渐发展出科学。然而，现实世界往往是复杂、混乱而充满偶然因素的。为了理解它，我们不得不忽略某些细节，对现实进行理想化，并构造出现实中并不严格存在的抽象对象（abstract objects）、抽象概念（abstract concepts）以及抽象关系（abstract relationships），例如质点、刚体、理想气体、连续介质和完全孤立的系统，其目的是为了描述所观察到的世界。
而受相同的生物直觉影响，这些抽象的物理对象、概念与关系等等与抽象的数学有着对应关系。科学抽象模型的任务并不是成为现实的完整复制品，而是保存那些与研究目的有关的重要关系。例如，如果现实系统中的某些量具有加法关系、顺序关系、对称关系或函数依赖，那么科学模型就应当以适当方式保存这些关系。因此，经验世界与科学模型（通常表示成数学的形式）之间建立起了结构上的“对应”（mapping）。
科学哲学家van Fraassen对这种结构表征关系作出了系统说明。他的基本思路可以概括为：
实验报告和测量报告给出某种“显现”，即由可观察现象所呈现出来的结构（a structure exhibited by observable phenomena）；
理论模型中包含一个经验子结构（empirical substructures）；
如果显现的结构与这个经验子结构同构（isomorphism），那么可观察现象就能够嵌入（embedding ）理论模型之中。
这一关系大致可以表示为：
显现的结构 ≅ 经验子结构 ⊆ 理论模型
（structure of an appearance） ≅ （empirical substructure） ⊆ （theoretical model）
在这里，同构（isomorphism）意味着两种结构之间存在一种保持相关关系的对应。嵌入（embedding ）则意味着，经验现象中所表现出的结构，能够在一个更大的理论模型中找到相应位置。
因此，数学与自然科学之所以能够相互契合，可能在于它们都建立在人类在演化过程中形成的某些心理倾向（psychological tendencies）之上。我将在以后的文章中陆续详细地介绍这些心理倾向。
如果把思维再放开一些（more liberal mind），我们甚至可以设想：宇宙中若存在具有不同感知方式、认知结构和表征偏好（preference bias）的智慧生命，它们也许会发展出属于自己的“数学”与“科学”。这些体系未必与人类的数学和科学完全相同，却可能同样适合它们所经验到的世界。
（五）
van Fraassen曾用颇有文学色彩的语言描述现象与理论模型之间的反差：
从理论的角度看，现象似乎微小、偶然、混乱，甚至肮脏、野蛮而短暂；然而，它们仍然能够被理解为嵌入某些优美、简单而规模大得多的数学模型之中。¾¾ van Fraassen， Scientific Representation: Paradoxes of Perspective，2008
从认知的演化论来看，数学之所以能够应用于科学，并不一定是因为自然世界本身就是数学，而可能是因为人类的数学认知和科学认知都形成于对同一个物理世界的适应过程。数学为我们提供了描述结构的形式工具，而科学模型则从纷繁复杂的经验现象中抽取并保存这些结构。
但科学绝不能等同于数学，即使所谓的“硬科学” —— 物理学，也不是数学；同样，数学也不是科学。二者具有不同的研究目的、研究方法和约束条件。
借用数学中收敛（convergence）与渐近逼近（Asymptotic approximation）两个概念，只接受过理工教育的学生，如果思维狭隘的话，就会理所当然地认为：
科学可以收敛成（converges to）物理学；
物理学可以近似于（ asymptotically approximates to） 数学。
最后形成 “ 科学 ≈ 数学 ” 或者 “ 数学 ≈ 科学 ” 这种极其幼稚的观念！